Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

175
MV0+m1V01 = (m+m1)V1, при V01=0,
откуда
0
1
1
V
mm
m
V
+
= .
Заметим, что следствием неупругости удара является рассеяние энергии. Однако при
решении задачи пренебрегая рассеянием энергии, будем считать, что вся кинетическая
энергия грузов, которой они обладают в момент начала удара, переходит в потенциальную
энергию сжатой пружины.
Уравнение баланса энергии имеет вид
(
)
(
)
(
)
.
2
0
2
1
2
0
2
1
1
2
11
2
1
din
CC
din
gmmVmm
δδδδ
+=++++
В левой части уравнения записаны кинетическая энергия грузов сразу после начала
удара (первое слагаемое), уменьшение потенциальной энергии грузов при их перемещении
от начала удара до полной остановки (второе слагаемое) и потенциальная энергия сжатой
пружины под действием силы, равной весу груза m1, и приложенной статически (третье
слагаемое). Вся эта энергия переходит в потенциальную энергию сжатой пружины, которая
записана в правой части. Уравнение (8.13) после преобразования записывается как
0
1
2
1
2
0
2
=
+
−−
g
m
m
V
st
dinstdin
δ
δδδ
,
где
C
mg
st
=
δ
- осадка пружины под действием силы, равной весу груза массой m и
приложенной статически.
Откуда
+
+=
st
stdin
g
m
m
V
δ
δδ
1
2
0
1
1.
Динамический коэффициент равен
st
din
g
m
m
V
K
δ
+
+=
1
2
0
1
1
.
Учитывая, что
ghV 2
0
= и
0
1
1
δδδ
+=
+
stst
m
m
, получим
0
2
11
δδ
+
++=
st
din
h
K
.
Выражения (8.14, 8.15) для динамического коэффициента при отсутствии груза
1
m
)0(
0
=
δ
совпадают с ранее полученными выражениями (8.11, 8.12). Формулы (8.14, 8.15)
показывают, что наличие груза (буферной массы) снижает коэффициент динамичности.
Пример 8.10. Найти максимальные напряжения, возникающие в цилиндрической
пружине при ударе по ней грузом массой
2
=
m кг со скоростью 0
0
=V м/с (рис.8.13,а).
Пружина до удара сжата на 40
0
=
δ
мм, средний диаметр витка пружины 60=D мм,
диаметр проволоки
6
=
d мм, число рабочих витков 10
=
i . Материал проволоки – сталь,
модуль сдвига
4
108 ⋅=G
МПа. Масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с массой
груза.
(8.14)
(8.15) 
                             MV0+m1V01 = (m+m1)V1,                     при V01=0,
откуда
                                                        m
                                             V1 =            V0 .
                                                      m + m1
     Заметим, что следствием неупругости удара является рассеяние энергии. Однако при
решении задачи пренебрегая рассеянием энергии, будем считать, что вся кинетическая
энергия грузов, которой они обладают в момент начала удара, переходит в потенциальную
энергию сжатой пружины.
     Уравнение баланса энергии имеет вид
                      1
                      2
                        (       )     (
                        m + m1 V12 + m + m1 gδ    )   din
                                                             1           1
                                                                             (
                                                           + Cδ 02 = C δ 0 + δ
                                                             2           2     din
                                                                                   2
                                                                                    ).
       В левой части уравнения записаны кинетическая энергия грузов сразу после начала
удара (первое слагаемое), уменьшение потенциальной энергии грузов при их перемещении
от начала удара до полной остановки (второе слагаемое) и потенциальная энергия сжатой
пружины под действием силы, равной весу груза m1, и приложенной статически (третье
слагаемое). Вся эта энергия переходит в потенциальную энергию сжатой пружины, которая
записана в правой части. Уравнение (8.13) после преобразования записывается как
                                                            V02δ st
                                   δ din
                                     2
                                         − 2δ st δ din −               =0,
                                                           m1 
                                                          1 +      g
                                                              m
           mg
где δ st =     - осадка пружины под действием силы, равной весу груза массой m и
           C
приложенной статически.
       Откуда
                                                                          
                                                                2
                                                                           
                                                              V0          
                                   δ din = δ st 1 +                       .
                                                          m1 
                                                
                                                        1 +      gδ st 
                                                             m          
       Динамический коэффициент равен
                                                             V02
                                          K din = 1 +                   .               (8.14)
                                                         m1 
                                                        1 +     gδ st
                                                            m
                           m 
Учитывая, что V0 = 2 gh и 1 + 1 δ st = δ st + δ 0 , получим
                             m
                                                                2h
                                    K din = 1 + 1 +                    .                (8.15)
                                                            δ st + δ 0
        Выражения (8.14, 8.15) для динамического коэффициента при отсутствии груза m1
(δ 0 = 0) совпадают с ранее полученными выражениями (8.11, 8.12). Формулы (8.14, 8.15)
показывают, что наличие груза (буферной массы) снижает коэффициент динамичности.
        Пример 8.10. Найти максимальные напряжения, возникающие в цилиндрической
пружине при ударе по ней грузом массой m = 2 кг со скоростью V0 = 0 м/с (рис.8.13,а).
Пружина до удара сжата на δ 0 = 40 мм, средний диаметр витка пружины D = 60 мм,
диаметр проволоки d = 6 мм, число рабочих витков i = 10 . Материал проволоки – сталь,
модуль сдвига G = 8 ⋅ 10 4 МПа. Масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с массой
груза.



                                                      175

Страницы