Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

176
Решение. Уравнение баланса энергии имеет вид
2
)(
22
2
0
2
0
2
0
δδδ
+
=+
din
CCmV
.
Отсюда полная осадка пружины
0
δ
δ
+
din
составит
2
0
2
0
0
δδδ
+=+
C
mV
din
.
Жесткость пружины С равна
6
10)60(8
)6(108
8
3
44
3
4
=
⋅⋅
⋅⋅
==
iD
Gd
C Н/м=6⋅103 Н/м.
()
8,67104
106
32
2
2
3
2
2
0
2
0
0
≈⋅+
⋅
⋅
=+=+
−
δδδ
C
mV
din
мм.
Максимальное усилие, действующее на пружину при ударе
(
)
4058,676
0max
=
⋅
=
+
=
δ
δ
din
CF Н.
Вычисляем максимальные касательные напряжения, возникающие в пружине
323
6
13,1601005,48
8
3
2
3
max
max
=
⋅⋅⋅⋅
==⋅=
ππ
τ
ττ
K
d
DF
K
W
T
p
МПа,
где
τ
K - коэффициент, учитывающий кривизну витка и наличие поперечной силы (13,1
=
τ
K
при
10/ =dD ).
Пример 8.11. Найти напряжения, возникающие в пружине (рис.8.13,б) при ударе тела
массой
2=m
кг, движущегося со скоростью 5
0
=
V м/с. Средний диаметр витка пружины
40=D мм, диаметр проволоки пружины 6
=
d мм, число рабочих витков 12=i . Масса тела,
связанного с пружиной
5,1
1
=m кг, модуль сдвига материала проволоки
Рис.8.13
4
108⋅=G
МПа. Массой пружины пренебречь.
Решение. Общую скорость грузов, «слипшихся» после начала удара, найдем по
формуле
0
1
1
V
mm
m
V
+
= .
Кинетическая энергия грузов, которой они обладают после соударения, полностью
переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Поэтому
(
)
22
2
2
11
din
C
Vmm
δ
=
+
,
отсюда
()
Cmm
mV
din
1
0
+
=
δ
.
Жесткость пружины равна
(
)
()
4
3
2
4
310
3
4
1069,1
121048
106108
8
⋅=
⋅⋅
⋅⋅
==
−
−
iD
Gd
C н/м=16,9 Н/мм.
Динамическая осадка 
     Решение. Уравнение баланса энергии имеет вид
                                  mV02 Cδ 02 C (δ din + δ 0 ) 2
                                         +      =               .
                                    2       2        2
Отсюда полная осадка пружины δ din + δ 0 составит
                                                            mV02
                                        δ din + δ 0 =            + δ 02 .
                                                             C
Жесткость пружины С равна
                                  Gd 4 8 ⋅ 10 4 ⋅ (6) 4
                             C=          =                = 6 Н/м=6⋅103 Н/м.
                                  8 D 3 i 8 ⋅ (60) 3 ⋅ 10
                                  mV02                2 ⋅ 32
                  δ din + δ 0 =         +δ0 =2
                                                                   (        )
                                                                            2
                                                              + 4 ⋅ 10 − 2 ≈ 67,8 мм.
                                    C                6 ⋅ 10 3

Максимальное усилие, действующее на пружину при ударе
                               Fmax = C (δ din + δ 0 ) = 6 ⋅ 67,8 = 405 Н.
Вычисляем максимальные касательные напряжения, возникающие в пружине
                        T          8F D             8 ⋅ 4,05 ⋅ 10 2 ⋅ 60 ⋅ 1,13
              τ max =      ⋅ K τ = max3 K τ =                                   = 323 МПа,
                       Wp            πd                        π 63
где K τ - коэффициент, учитывающий кривизну витка и наличие поперечной силы ( K τ = 1,13
при D / d = 10 ).
       Пример 8.11. Найти напряжения, возникающие в пружине (рис.8.13,б) при ударе тела
массой m = 2 кг, движущегося со скоростью V0 = 5 м/с. Средний диаметр витка пружины
D = 40 мм, диаметр проволоки пружины d = 6 мм, число рабочих витков i = 12 . Масса тела,
связанного с пружиной m1 = 1,5 кг, модуль сдвига материала проволоки




                                                         Рис.8.13

G = 8 ⋅ 10 4 МПа. Массой пружины пренебречь.
        Решение. Общую скорость грузов, «слипшихся» после начала удара, найдем по
формуле
                                                  m
                                           V1 =          V0 .
                                                m + m1
Кинетическая энергия грузов, которой они обладают после соударения, полностью
переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Поэтому
                                   (m + m1 )V12 = Cδ din2 ,
                                          2          2
отсюда
                                                mV0
                                    δ din =               .
                                             (m + m1 )C
Жесткость пружины равна

                       C=
                                            (
                            Gd 4 8 ⋅ 1010 6 ⋅ 10 −3
                                 =
                                                     )  4

                                                    = 1,69 ⋅ 10 4 н/м=16,9 Н/мм.
                              3
                            8D i        (    −
                                   8 ⋅ 4 ⋅ 10 12
                                               2
                                                 )
                                                 3


Динамическая осадка



                                                        176

Страницы