Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

35
25,36
)103(108
5,06004141
22
4210
2
4
2
2
2
2
2
1
1
2
1
=
⋅⋅⋅
⋅⋅
==+=
−
ππ
dG
M
GI
T
GI
T
U
pp
l
ll
Дж.
При вычислении работы внешних моментов учитываем, что направления действия внешних
моментов и направления поворота соответствующих сечений совпадают. Поэтому
4
2
4
2
4
2
4160
2
122
2
1
6
2
1
2
1
dG
M
dG
M
dG
M
MMW
ba
πππ
ϕϕ
lll
=+=+= .
25,36
=
=
WU Дж.
Пример 2.2. Определить касательные напряжения и угол закручивания в
тонкостенных стержнях замкнутого и открытого профиля при свободном кручении
(рис.2.4,а,б). Дано
3
10=M
Нм;
3
103
−
⋅=t
м;
3
105
−
⋅=
m
b
м;
1
=
l м;
4
108 ⋅=G
МПа.
Решение. В стержне замкнутого профиля максимальные касательные напряжения
1max
τ
и угол закручивания
1
ϕ
определим по формулам (2.10) и (2.11), используя табл.2.2:
tbtbAtW
mmt
⋅⋅=⋅⋅⋅==
22
min
4222;
tb
t
b
t
b
b
t
dS
A
I
m
mm
m
t
3
22
2
5
16
2
24
)2(4
4
=
+
==
∫
;
33
10310254
10
4
34
3
2
1max
=
⋅⋅⋅⋅
===
−−
tb
M
W
T
t
τ
Мпа;
0104,0
10)105(10816
1105
16
5
33210
3
3
1
=
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
===
−−
tGb
M
GI
T
mt
ll
ϕ
рад.
В стержне открытого профиля максимальные касательные напряжения
2max
τ
и угол
закручивания
2
ϕ
определим по тем же формулам (2.10) и (2.11), используя табл.2.2:
[
]
3
4
1
33333
3
20
)2()2(22
3
1
3
1
tbtbtbtbtbtSI
m
i
mmmmiit
=+++==
∑
=
,
Рис.2.4
2
3
max
3
10
23
20
tb
t
tb
t
I
W
m
mt
t
=== ,
666
)103(10510
103
10
3
232
3
2
2max
=
⋅⋅⋅⋅
⋅
===
−−
−
tb
M
W
T
mt
τ
МПа,
388,1
)103(10510820
1103
10
3
33210
3
3
2
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
===
−−
tGb
M
GI
T
mt
ll
ϕ
рад.
Таким образом, стержень замкнутого коробчатого профиля в 20 раз прочнее (по
напряжениям) аналогичного стержня открытого профиля и в 133,5 раз жестче.
А Б 
                           T12 l 1  T 2l     41M 2 l       41⋅ 600 2 ⋅ 0,5
                        U=         + 2 2 =           =                       = 36,25 Дж.
                          2GI p1 2GI p 2 Gπd 4 8 ⋅1010 ⋅ π (3 ⋅10 −2 ) 4
При вычислении работы внешних моментов учитываем, что направления действия внешних
моментов и направления поворота соответствующих сечений совпадают. Поэтому
                          1          1         1 22M 2 l 1 60M 2 l 41M 2 l
                      W = Mϕ a + 6 Mϕ b =                 +             =        .
                           2         2         2 Gπd 4 2 Gπd 4             Gπd 4
                                         U = W = 36,25 Дж.
         Пример 2.2. Определить           касательные напряжения и угол закручивания в
тонкостенных стержнях замкнутого и открытого профиля при свободном кручении
(рис.2.4,а,б). Дано M = 10 3 Нм; t = 3 ⋅10 −3 м; bm = 5 ⋅ 10 −3 м; l = 1 м; G = 8 ⋅ 10 4 МПа.
         Решение. В стержне замкнутого профиля максимальные касательные напряжения
τ max 1 и угол закручивания ϕ 1 определим по формулам (2.10) и (2.11), используя табл.2.2:
                                            Wt = 2 At min = 2 ⋅ 2 ⋅ bm2 ⋅ t = 4 ⋅ bm2 ⋅ t ;
                                                4 A2   4(2bm2 ) 2       16
                                              It =   =               = bm3 t ;
                                                  dS 4bm 2bm             5
                                                ∫t      t
                                                           +
                                                               2t
                                            T   M             103
                                 τ max1   =   = 2 =                            = 33 Мпа;
                                            Wt 4b t 4 ⋅ 25 ⋅ 10 −4 ⋅ 3 ⋅ 10 −3
              Tl    5Ml                 5 ⋅ 103 ⋅ 1
       ϕ1 =       =        =                                       = 0,0104 рад.
              GI t 16Gbm3 t 16 ⋅ 8 ⋅ 1010 ⋅ (5 ⋅ 10 −2 ) 3 ⋅ 10 −3
      В стержне открытого профиля максимальные касательные напряжения                                     τ max 2 и угол
закручивания    ϕ 2 определим по тем же формулам (2.10) и (2.11), используя табл.2.2:
                         It =
                                1 4
                                  ∑
                                3 i =1
                                                1
                                                 [
                                       S i ti3 = 2bm t 3 + 2bm t 3 + bm (2t ) 3 + bm (2t ) 3 =
                                                3
                                                                                              ]20 3
                                                                                               3
                                                                                                 bm t ,




                                     А                                 Б

                                                              Рис.2.4

                                                        It        20 bm t 3 10 2
                                               Wt =           =            = bm t ,
                                                      t max       3 2t       3
                                       T   3M                3 ⋅ 10 −3
                           τ max 2 =     =        =                                = 666 МПа,
                                       Wt 10bm t 2 10 ⋅ 5 ⋅ 10 −2 ⋅ (3 ⋅ 10 −3 ) 2
                      Tl     3Ml                   3 ⋅ 103 ⋅ 1
                       ϕ2 =
                          =         =                                           = 1,388 рад.
                      GI t 10Gbm t 3 20 ⋅ 8 ⋅ 1010 ⋅ 5 ⋅ 10 −2 ⋅ (3 ⋅ 10 −3 ) 3
      Таким образом, стержень замкнутого коробчатого профиля в 20 раз прочнее (по
напряжениям) аналогичного стержня открытого профиля и в 133,5 раз жестче.




                                                              35

Страницы