Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

64
Перемещение точки a определяем при помощи интеграла Мора
∫
=
l
x
x
EI
dzMM
f
1
α
.
Заменяя
ϕ
R
ddz = на участке bc и подставив выражения
x
M ,
1
M по участкам,
получаем:
∫∫ ∫
=+++=
+
+
⋅⋅
=
R
xxxx
a
d
EI
FR
EI
FR
EI
dFR
EI
dzzF
f
0
2
0
2
0
2
33232
)sinsin21(
3
)sin1(
ππ
ϕϕϕ
ϕϕ
=
−+−+=
−+++=
∫
2
0
3
2
0
3
sin
4
1
2
cos2(
3
1
)cos
2
1
2
1
sin21(
3
1
π
π
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
xx
EI
FR
d
EI
FR
xx
EI
FR
EI
FR
33
12
928
4
2
23
1
+
=
+++=
πππ
.
Сечение
a переместилось вверх.
Пример 3.11. Определить полное перемещение сечения
k
, если нижние волокна
балки, показанной на рис.3.14, нагреты до температуры Ct
o
100
1
= , а верхние – до
Ct
o
120
2
= .
Рис.3.14
Решение. Определим вертикальное перемещение
k
V сечения
k
. При приложении
единичной силы в сечении
k
в вертикальном направлении в балке возникает только
изгибающий момент
1
M
. Поэтому
−
=
−
=
∫
2
12
0
1
12
2
1
l
h
tt
dzM
h
tt
V
l
k
αα
,
03,73
2
1
16,0
)100120(
105,12
26
=
−
⋅=
−
k
V мм.
Для определения горизонтального перемещения
k
w приложим в сечении
k
единичную силу в горизонтальном направлении. Тогда
∫
⋅
+
=
+
=
l
k
tt
dzN
tt
w
0
21
1
21
1
22
l
αα
,
12,43
2
)100120(
105,12
6
=⋅
+
⋅⋅=
−
k
w мм.
Полное перемещение 
       Перемещение точки a определяем при помощи интеграла Мора
                                              M M dz
                                       fα = ∫ x 1 .
                                            l
                                               EI x
      Заменяя dz = Rdϕ на участке bc и подставив выражения M x , M 1 по участкам,
получаем:
                               π                                         π

                                  FR (1 + sin ϕ ) dϕ FR
                R
                    F ⋅ z ⋅ dz
                        2      2      3            2
                                                             FR 3       3 2
          fa = ∫               +∫                   =      +             ∫ (1 + 2 sin ϕ + sin
                                                                                                2
                                                                                                    ϕ )dϕ =
                0
                       EI x     0
                                         EI x         3EI x EI x          0
                      π
                                                        
            3
            FR  1 2                   1 1                FR  1
                                                                   3
                                                                                           ϕ 1       π
                                                                                                       
        =        
            EI x 3 0
                    + ∫ (1 + 2 sin ϕ +   −
                                       2 2
                                              cos ϕ ) dϕ   =        
                                                                EI x  3
                                                                         + (ϕ  − 2 cos ϕ +  −
                                                                                           2 4
                                                                                               sin ϕ 2
                                                                                                     0 
                                                                                                       
                                                                                                         =
                                                       
                                     FR 3  1 π            π   28 + 9π  FR 3
                                   =          +    +  2 +       =                  .
                                     EI x  3 2            4   12  EI x
        Сечение a переместилось вверх.
        Пример 3.11. Определить полное перемещение сечения k , если нижние волокна
балки, показанной на рис.3.14, нагреты до температуры t1 = 100o C , а верхние – до
t 2 = 120 o C .




                                                          Рис.3.14

      Решение. Определим вертикальное перемещение Vk сечения k . При приложении
единичной силы в сечении k в вертикальном направлении в балке возникает только
изгибающий момент M 1 . Поэтому
                                          l
                                              t 2 − t1          t −t 1 
                                   Vk = ∫ α            M 1dz = α 2 1  l 2  ,
                                          0
                                                  h               h 2 
                                      (120 − 100)  1 2 
                              Vk = 12,5 ⋅10 −6     3  = 7,03 мм.
                                         0,16     2 
      Для определения горизонтального перемещения wk приложим в сечении k
единичную силу в горизонтальном направлении. Тогда
                                l
                                    t +t             t +t
                           wk = ∫ α 1 2 N1dz = α 1 2 1 ⋅ l ,
                                0
                                       2                2
                                                       (120 + 100)
                                wk = 12,5 ⋅ 10 −6 ⋅                ⋅ 3 = 4,12 мм.
                                                            2
       Полное перемещение




                                                         64

Страницы