Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 95 стр.

        Пример 4.9. Построить эпюры моментов для рамы, изображенной на рис.4.13.
Проверить полученное решение. Поперечное сечение – труба, коэффициент Пуасонна
v = 1/ 4 .




                                                       Рис.4.13

      Решение. В общем случае нагружения рама шесть раз статически неопределима. В
качестве основной выберем систему, разрезанную по оси симметрии (рис.4.14,а). Так как
данная рама является плоскопространственной, то три фактора, действующие в плоскости
рамы ( N , M y , Q x ), равны нулю. Кроме того, из условия симметрии антисимметричные
факторы ( T , Q y ) также равны нулю. Поэтому в сечении по оси симметрии действует только
изгибающий момент M x = X 1 . Эквивалентная система показана на рис.4.14,б. Условие
эквивалентности записывается в виде
                                        δ 11 X 1 + δ 11 = 0 .
       Физический смысл этого уравнения заключается в том, что взаимный угол поворота
разрезанных сечений от заданной нагрузки и от X 1 в плоскости, перпендикулярной
плоскости рамы, должен быть равен нулю. При вычислении коэффициентов канонических
уравнений потребуется связь между изгибной и крутильной жесткостью. Для трубы:
                                             I p = 2I x ,
где х – любая центральная ось.
                                                          E      2
                                                G=              = E.
                                                       2(1 + ν ) 5
Окончательно
                                              2          4
                                              GI p =
                                                E 2 I X = EI X .
                                              5          5
      Для вычисления коэффициентов канонического уравнения построим эпюры
изгибающих и крутящих моментов с учетом симметрии на половине рамы (рис.4.14,в,г).
                                  1
                           δ11 =      [(1⋅ l )l] + 1 [(1⋅ l )1] = 9 l ,
                                 EI X              GI p           4 EI X
                                1 qe l 2  
                                      1                1  qe l 2          19 qe l 3
                                
                          δ1 f = −
                                        l  ⋅ 1  −
                                              GI  2        l  ⋅ 1 = −           ,
                                3  EI X
                                     2                p                 24 EI  X

                                                  δ 1 f 19
                                        X1 = −         = qe l .
                                                  δ 11 54
      Суммарная эпюра показана на рис.4.14,д. Для проверки полученного решения найдем
вертикальное перемещение опорного сечения. С этой целью приложим единичную нагрузку
к основной системе, показанной на рис.4.14,е, и построим эпюру (рис.4.14,ж). Перемножив
суммарную эпюру на единичную (рис.4.14,ж), получим

             1      2 qe l 2   8                    1    8      2     
       v1 =                2l l −  qe l 2 2l l  −      54 qe l l 2l  = 0 .
            EI X    3 2           54             GI p               




                                                       95