ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
233
Приложе ни я
Пусть теперь функция f(x,y) -удовлетворяет условиям тео
( . .5.1.4) ремы существования и единственности см п решения
задачи Коши для дифференциального уравнения
( , )
y f x y
с
начальными условиями
0 0
( )
y x y
, то есть непре -рывна по сово
купности переменных в некоторой области D и удовлетворяет в
ней условию Липшица по y. -Перейдём к эквивалентному ин
тегральному уравнению
0
0
( , )
x
x
y y f x y dx
. -Рассмотрим опе
, ратор действующий по формуле
0
0
( , )
x
x
y y f x y dx
. -Этот опе
ратор переводит непрерывную функцию в непрерыв .ную
Получим условия сжимаемости оператора B в метрике
пространства C[a,b]. Имеем
1 2 1 2
[ , ]
( , ) max ( ) ( )
x a b
By By y x y x
0
1 2
[ , ]
max ( , ( )) ( , ( ))
x
x a b
x
f t y t f t y t dt
0
1 2
[ , ]
max ( , ( )) ( , ( ))
x
x a b
x
f t y t f t y t dt
0
1 2 1 2
[ , ] [ , ]
max ( ) ( ) max ( ) ( )
x
x a b x a b
x
L y t y t dt L b a y x y x
.
, Таким образом если
1
L b a
, то оператор B — -сжимаю
. , щий Тогда по теореме , -о сжимающем операторе решение ин
тегрального уравнения
0
0
( , )
x
x
y y f x y dx
, , а следовательно и
задачи Коши
( , )
y f x y
0 0
( )
y x y
существует и единственно
[на отрезке a,b].
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)
