Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 231 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

231
Приложе ни я
Так как
0
n
x x
при
n
, то для всякого 0 существует
номер N , такой что для всех n N вып олнены неравенства
0 0 1
( , ) , ( , )
2 2
n n
x x x x
, , , и следовательно неравенство
0 0
( , )x Ax
. В силу произвольности -из последнего неравен
, ства следует чт о
0 0
x Ax
, и поэтому
0 0
Ax x
.
-Докажем теперь единственность неподвижной точки у опе
. , -ратора сжатия Предположим что существуют два неподвиж
ных элемент а
0 0
,
x y X
оператора A, , то есть таких что
0 0
Ax x
,
0 0
Ay y
. Тогда
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
x y Ax Ay x y
.
, Если теперь допустить что
0 0
( , ) 0
x y
, то из последнего
, неравенства следует что
1
, что противоречит условию
0 1
. Полученное против .оречие доказывает теорему
(2) Переходя в к пределу при p, стремящемся к , получаем
(3), неравенство служащее оценкой ошибки n- го приближения
.и одновременно оценкой скорости сходимости
Замечание 1. Построение последовательности
1
{ }
n
n
x
можно
начинать с любой точки x. Выбор x будет сказываться лишь
на быстроте сходимости
1
{ }
n
n
x
к x
0
.
Заме чание 2. Условие
( , ) ( , )
Ax Ay x y
 ,
0 1
,
нельзя заменить на более слабое
( , ) ( , )
Ax Ay x y
, и даже на
( , ) ( , )
Ax Ay x y
. Соответств [16 ] ующий пример смотри в на
63.странице
-Принцип сжатых отображений применяется для доказатель
, ства сходимости итерационных процедур то есть процедур вида
1
n n
x Ax
с соответственно подобранным оператором A.
Пусть :
n n
A R R
— . линейный оператор Тогда
0
Ax b
— система n линейных уравнений с n . -неизвестными Рассмот
рим о ператор
:
n n
B R R
, дейс твующий по формуле
Bx Ax b
. При b 0 B — , -оператор полученный из линей
ного оператора A сдвигом на вектор b. При b 0 оператор B
совпадает с оператором A. -Найдем условия сжимаемости опе
ратора B при различных метриках в пространстве R
n
. Для
1
n
R
имеем
( , ) ( , )
Bx By Ax b Ay b
1 1 1 1
( )
( )
n n n n
i j
i
i j i
i i j j
i i j j
Ay y
Ax
b b a x a
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы