Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 229 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

229
Приложе ни я
.Доказательство Так как
lim
n
n
A a

, то для всякого 0
существует N , такое что для все х
,
n m N
в -ыполнены неравен
ства
( , ) , ( , )
n m
A a A a
, поэтому
( , ) ( , ) ( , )
2 2
m n n m
a a A a A a
.
.Теорема доказана
, , , -Обратное утверждение вообще говоря неверно то есть суще
, -ствуют метрические пространства в которых не каждая фунда
. -ментальная последовательность имеет предел Например во мно
жестве рациональных чисел Q , с тем же что и в R, расстоянием
( , )
x y x y
, ,любая последовательность рациональных чисел
, сходящаяся к иррациональному числу предела в Q .не имеет
Определение 5. M етрическое пространство X называется
, -полным если в нем каждая фундаментальная последова
.тельность сходится
1,2,3,4 -Приведённые выше примеры метрических про
.странств являются полными метрическими пространствами
Если в линейном пространстве C[a,b] непрерывных на
[отрезке a,b] ( . .5.2.3) -функций см п ввести расстояние по фор
муле
[ , ]
( , ) max ( ) ( )
t a b
x y x t y t
,
-то это пространство становится полным метрическим простран
. , , , -ством Заметим что пространство полное в одной метрике мо
. жет не быть полным в другой метрике Если в C[a,b] ввести
расстояние по формуле
( , ) ( ) ( )
x y x t y t dt
, -то в этой метри
. -ке пространство не является полным Соответствующий при
, мер последовательности непрерывных функций сходящейся в
, этой метрике к разрывной функции можно найти в книгах по
, [12].функциональному анализу например в
( ).Теорема о сжимающем операторе Пусть на полном
метрическом пространстве X задан оператор
:
A X X
( то есть переводящий X ) , в себя такой что для
,
x y X
в ыполняется неравенство
( , ) ( , )
Ax Ay x y
, (1)
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы