Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
230
гд е
0 1
и не зависит от x и y. Тогда существует
единственная точка x
0
, такая что
0 0
Ax x
.
Оператор A, (1), обладающий свойством называется
, сжимающим а точка x
0
— -неподвижной точкой опера
тора A.
Доказательство. Пусть
0
x X
— . -произвольная точка За
фиксируем её на процесс дальнейших рассуждений и положим
1 2 1 1
, ,..., ,...
n n
x Ax x Ax x Ax
.
, Покажем что последовательность
1
n
x
— ф .ундаментальна
,Действительно
1 2 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x x Ax Ax x x x Ax
,
2 2
2 3 1 2 1 2 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x x Ax Ax x x x x x Ax

,
...................................................................
1
( , ) ( , )
n
n n
x x x Ax
.
,Далее
1 1 2 1
( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )
n n p n n n n n p n p
x x x x x x x x
1
(1 ... ) ( , ) ( , )
1
n n p
n p
x Ax x Ax
. (2)
Так к ак
0 1
, то
( , ) ( , )
1
n
n n p
x x x Ax
, (3)
-откуда и следует утверждение о фундаментальности последова
тельности
1
{ }
n
n
x
. Так как X — , -полное пространство то суще
ствует элемент
0
x X
, такой что
0
lim .
n
n
x x

, Докажем что
0 0
Ax x
. , Для этого достаточно показать что
0 0
( , ) 0
x Ax
. ,Действительно
0 0 0 0 0 0 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
n n n n
x Ax x x x Ax x x Ax Ax
0 0 1
( , ) ( , )
n n
x x x x
 .
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы