Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7
1. НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Определение и свойства
-В дифференциальном исчислении по данной функции на
. ходилась её производная В этом разделе будем заниматься
, .задачей обратной к задаче нахождения производной
.Определение Функция F(x) называется первообразной
для функции f(x) (дифференциала f(x) dx) [на отрезке a,b],
если F(x) дифференцируема на [a,b] и
( ) ( )
F x f x
для
всех
[ , ]
x a b
(
( ) ( )
dF x f x dx
).
, Нетрудно видеть что функция
3
1
sin sin
3
-является пер
вообразной для функции
3
cos
x
. ,Действительно
3 2 2 3
1
sin sin cos sin cos cos 1 sin cos
3
x x x x x x x x
.
, Аналогично доказывается что sin
2x -является первообраз
ной для 2cos
2x.
.Докажем несколько свойств первообразных
1.1.Теорема Если F(x) — первообразная для
функции f(x), то F(x) C, где C — ,некоторая константа
также является первообразной для f(x).
.Доказательство , (Действительно F(x) + C) F(x) + C f(x).
.Теорема доказана
1.2.Теорема Если F(x) и (x) — две первообразные
, одной и той же функции то их разность F(x) (x)
.есть константа
.Доказательство , Докажем вначале что если для x [a,b]
(x) 0, то (x) есть константа на [a,b]. Пусть x
1
, x
2
—
любые две точки из [a,b]. По теореме Лагранжа о конечных
приращениях существует точка из отрезка [x
1
,x
2
] ,такая
что (x
2
) (x
1
) () (x
2
x
1
). Так как по условию () 0,
то (x
2
) (x
1
), , и поэтому в силу произвольности x
1
,x
2
, (x)
[есть константа на a,b]. , Вычисляя производную получаем
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
F x x F x x f x f x
для x [a,b], ,и
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы