Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

101
-Удобен бывает также переход к обобщённым цилиндрическим коорди
натам по формулам
cos ,
sin ,
x a
y b
z z
либо в более общем виде
cos ,
sin ,
.
x a
y b
z z
В векторной форме то же самое записывается в виде
( , , ) cos
( , , ) ( , , ) sin ( cos ) ( sin )
( , , )
x x z a
y z y z b a b z
z z z z
i j k
для первой замены или
cos
( , , )
( , , ) ( , , ) sin ( cos ) ( sin )
( , , )
a
x x z
y z y z b a b z
z z z z
i j k
.для второй замены
При это м
0 , 0 2 , .
z
Угол допускается выбирать
из любого полуинтервала длиной 2. Для первой замены модуль якобиана
раве н
,
J ab
— а для второй
1 1
sin cos .
J ab
П ервая замена
, -обычно применяется в том случае когда область есть эллиптический ци
- , -линдр или какая то его часть ограниченная частью поверхности этого ци
.линдра
3.46. Вычислить интеграл
,
D
zdxdydz

где D — , -область заданная не
равенствами
2 2 2
3 3
1 4, ,
4 9 16 2
x y z x
y y x
z
0.
, -Область интегрирования есть часть эллипсоида поэтому удобно сде
лать замену
2 cos sin ,
x
3 sin sin ,
y
4 cos .
z
Пересчитывая
уравнения эллипсоидов
2 2 2 2 2 2
1, 4
4 9 16 4 9 16
x y z x y z
-в новые коор
, динаты получаем
2
1 4,
,следовательно
1 2.
Проекция области на плоскость XOY
есть часть эллипса
2 2
4,
4 9
x y
-лежащая меж
ду прямыми
3
2
y x
и
3 3
.
2
y x
-Записывая урав
, нение первой прямой в новых координатах имеем 3 sin sin
3
2cos sin
2
, , tgили после преобразований 1. Для второй прямой
3.3. Замена переменных в кратных интегралах
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы