Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

103
3
2 2
3
3
2
0 2 0
2
12 3 cos 2 sin 12 3 cos 2 sin
3
d d d
 
2
2
0
0
8 19
12 9 3 cos 2sin 12 3 sin 2cos 380.
3 3
d
3.48. Вычислить интеграл
,
D
dxdydz
xyz
где D — , область заданная
неравенствами
1 2, 0, 0,
2 3 4
x y z
x y
z 0.
Введ ём новые переменные по формулам
4 4
x
4 4
3 sin sin ,
y
4
4 cos .
z
Тогда уравнение границы
1
2 3 4
x y z
можно записать в виде
4 4 4 4
2 cos sin 3 sin sin
2 3 4 2 3
x y z
4
2 2 2 2 2
4 cos
cos sin sin sin cos 1.
4
, Или что
,то же самое 1. -Аналогично для второй грани
цы
2
2 3 4
x y z
получаем
2
, , или что
,то же самое 4. Поэтому
1 4.
Так как
часть границы проходит по осям OX, OY, OZ
(и область лежит в первом октанте x 0, y 0,
z 0), то
0 ,
2
0 .
2
-Переходя к но
, вым координатам в подынтегральной функции получаем
1
xyz
3 2 2 2 4 2
1
.
2 6 cos sin sin cos
Модуль якобиана перехода равен
2 2 7 3 3 3 2 7 3 3 3
2 3 4 4 sin cos sin cos 384 sin cos sin cos .
J
, Таким образом
2 2
4
2 7 3 3 3
3 2 2 2 4 2
0 0 1
384 sin cos sin cos
2 6
cos sin sin cos
D
dxdydz
d d d
xyz

2 2
4
1 2 3
0 0 1
192
cos sin sin cos
6
d d d
3.3. Замена переменных в кратных интегралах
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы