Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

105
4 4
3 3
3 2 7 7 2 2
0 0
135 2 135 2
cos sin 3 1 3 1 sin 1 sin sin
7 7
d d
3 5
3 5
3 3
4
0
2 2 2 2
135 2 sin sin 135 2
2186 2186
7 3 5 7 3 5
3 6
135 2186 2 7 2 9837 32
.
7 120 4
,Иногда бывает удобно перейти к криволинейной системе координат
.отличной от рассмотренных выше
3.50. Вычислить интеграл
2 ,
x y z dxdydz
где D — -внутрен
ность параллелепипеда с гранями x
y
2z
1, x
y
2z
3, 2x y
5z
0,
2x
y
5z
2, x
3y
5z
1, x
3y
5z
6.
-При расстановке пределов интегрирования в декартовой системе коор
.динат приходится разбивать область интегрирования на несколько частей
Введение новых переменных по формулам u
x
y
2z, v
2x
y
5z,
w x 3y 5z . позволяет проще вычислить этот интеграл При этом u, v и w
меняются в пределах
1 3, 0 2, 1 6.
u v w
-Выражая старые коор
[1,динаты через новые
2], получаем
10 3
,
5
u v w
x
5 3
,
5
u v w
y
5 2
.
5
u v w
z
Подынтегральная функция в координатах u, v, w -приоб
ретает вид
10 3 10 6 2 5 2
2
5 5 5
u v w u v w u v w
x y z
25 9 2
.
5
u v w
( ) Определитель матрицы Якоби якобиан перехода равен
1 3 3 1
2 0
5 5 5 5
3 1 1 2 1
1 0 .
5 5 5 5 5
2 1 2 1
1 1
5 5 5 5
x x x
u v w
y y y
J
u v w
z z z
u v w
-Модуль якобиана ра
вен
1
.
5
J
Тогда
3 2 6
1 0 1
25 9 2 1
2
5 5
D
u v w
x y z dxdydz du dv dw

3 2 6 3 2
6
6
2
1
1
1 0 1 1 0
1 1
25 9 2 25 9
25 25
du dv u v w dw du u v w w dv
3.3. Замена переменных в кратных интегралах
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы