Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

99
3
4
0
0 0
0
32 sin 8 2 8 2 16 2
sin sin cos .
5 3 15 15 15
d d
3.44. В тройном интеграле
( , , ) ,
D
f x y z dxdydz
где D — , -область за
данная неравенствами
2 2 2 2 2 2
1
1 9, , 0,
4
x y z y x z y
перейти
.к сферическим координатам и расставить пределы интегрирования
Область интегрирования есть находящаяся между сфер
2 2 2
1,
x y z
2 2 2
x y z
внутренность конуса
2 2 2
1
,
4
y x z -лежащая в полупрост
ранстве y 0. В данном случае лучше перейти к
, -сферическим координатам предварительно поме
няв местами оси OY и OZ, -то есть произвести пе
реход по формула м
cos sin ,
x
cos ,
y
sin sin ,
z
где — - -угол между радиус векто
ром точки и осью OY, , а остальные переменные те же что и в стандартной
. сферической системе координат Наибольшее значение угол принимает
, , в случае к огда точк а леж ит на поверхности к онуса и оно равно
1
arctg 2,
,следовательно 0
arctg 2. Так как проекция области на плоскость XOZ
,есть круг с центром в начале координат 0то
2. , И наконец когда
, - точка лежит в области интегрирования её радиус вектор изменяется
в пределах 1
3. , Таким образом получаем
( , , )
D
f x y z dxdydz

arctg 2
2 3
2
0 0 0
( cos sin , cos , sin sin ) sin .
d d f d
 
3.45. В тройном интеграле
( , , ) ,
D
f x y z dxdydz

где D — , -область за
данная неравенствам и
2 2 2 2 2
4, , 0,
x z y x z y
2 2
9 ,
y x z
п -ерей
.ти к цилиндрическим координатам и расставить пределы интегрирования
Область интегрирования ограничена цилиндро м
2 2
4
x z
с -образу
, ющей параллельной оси OY, конусом
2 2 2
y x z
-и параболоидом враще
ни я
2 2
9 .
y x z
В данном случае лучше
, -перейти к цилиндрическим координатам предва
рительно поменяв местами оси OY и OZ, то есть
произвести переход по формула м
cos ,
x
, sin ,
y y z
где — - -проекция радиус век
тора точки на плоскость XOZ; — угол между этой проекцией и осью OX.
Так как проекция области на плоскость XOZ есть круг с центром в начале
3.3. Замена переменных в кратных интегралах
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы