Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

110
Переходя в интеграле
( )
D
S D dxdy

, к полярным координатам имеем
4sin
4 sin
2
2
2 sin
2 sin
4 4 4 4
( ) 6 sin 3 (1 cos 2 )
2
S D d d d d d
4
3 9 3
3 sin 2 .
2 4 2
3.58. , Вычислить площадь области заданной неравенствами
(x r)
2
y
2
r
2
, y 0, 2x 2r y, перейдя предварительно к полярным
.координатам
, -Проще всего эту задачу решать если перене
, сти начало координат в центр окружности то есть
перейти к новым переменным по формулам
x
1
x r, y
1
y. В новых переменных область
будет задаваться неравенствами
2 2
2
1 1
,
x y r
y
1
0, 2x
1
y
1
. Находя точки пересечения
прямой y
1
2x
1
с окружностью
2 2
2
1 1
,
x y r
получаем
1
5
r
x
1
2
.
5
r
y m
На границе области лежит точка
2
,
5 5
r r
.
Поэтому в полярных координатах область будет задаваться неравенствами
0 r, 2 arctg (2) 2 arctg 2. ,Следовательно
D
S dxdy
2 arctg 2
2
0
( arctg 2)
.
2
r
r
d d
3.59. , -Вычислить площадь области ограничен
ной линие й
2
2 2
8 .
x y xy
-Удобно перейти к полярной системе коорди
. нат В этой системе координат уравнение кривой
будет иметь вид
4
8
2
cos sin , , или что то же
, самое
2 sin 2 .
, ,Кривая а следовательно
, , .и область ею ограниченная симметрична относительно начала координат
Поэтому
2 sin2 2 sin 2 2 sin 2
2 3 2 2
0 0 0 0 0
2
D
S dxdy d d d d d d
2 2
2 sin 2
2
2
0
0
0 0
4sin 2 2cos 2 4.
d d
3.60. , Найти объем области ограниченной поверхностями x 0, y 0,
z 0,
2 2
3, 1.
x y z x y
3. Кратные интегралы
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы