Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

111
, Данная область является цилиндром проекция которого на плоскость
XOY есть треугольник с границей x 0, y 0, x y 3, одновременно
. -являющейся направляющей цилиндра Сверху и снизу цилиндр ограни
чен поверхностями z 0,
2 2
1.
z x y
Поэтому
( )
G
V G dxdydz
2 2 3
1
3 3 3 3 3
3
2 2 2
0 0 0 0 0 0
0
1
3
x
x y
x x
y
dx dy dz dx x y dy x y y dx
3
3
2
0
(3 )
(3 ) (3 ) 18.
3
x
x x x dx
3.61. Вычислить площадь поверхности z x
2
y
2
, (x, y) D, если
область D задается неравенствами
2 2
1 4, 0, , 3 .
Так как
2
x
z x
,
2
y
z y
, , -то подставляя в формулу площади поверх
, ности имеем
2 2
1 4 4 .
D
S x y dxdy
-Переходя к полярным координа
, там получаем
2
2
3 3
3 2
2 2
1
1
4 4
1
1 4 1 4
12
S d d d
3 2 3 2
3
4
(17) (5) 17 17 5 5
.
12 144
d
3.62. , Вычислить площадь шарового сектора вырезанного в сфере
радиуса R частью конуса x
2
y
2
z
2
, лежащей в полупространстве z
0.
Данная поверхность есть часть сферы радиуса R, -лежащая в полупро
странстве z 0. , Вспомним что в сферической системе координат
x cos sin , y sin sin , z cos , где  — -длина радиус вектора
, точки — - угол между проекцией радиус вектора точки на плоскость XOY
и осью OX, — - угол между радиус вектором точки и осью OZ, -координат
ной поверхностью при фиксированном
R и
[0,2 ), [0, ]
-являет
ся сфера радиуса R. Если точка принадлежит заданной в условии части
, сферы то угол 0меняется в пределах 2, а угол — в пределах
0
4
. Поэтому параметрическое уравнение данного шарового сектора
можно записать в вид е
cos sin , sin sin , cos ,
x R y R z R
где
0 2,
0
4
. То же самое в векторной форме имеет вид
cos sin sin sin cos , 0 2 , 0 .
4
R R R
r i j k
3.4. Геометрические приложения кратных интегралов
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы