Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

115
При параметрическом
( ),
( ),
( )
x x t
y y t
z z t
, o , или что т же самое векторном
( )
( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,
( )
T
x t
t y t x t y t z t x t y t z t t
z t
 
r i j k
задании кривой криволинейный интеграл первого рода вычисляется по
формуле
2 2 2
( , , ) ( ), ( ), ( ) .
t t t
L
В случае плоской кривой
( )
( ) ( ), ( ) ( ) ( ) [ , ]
( )
T
x t
t x t y t x t y t t
y t
r i j эта
формула приобретает вид
 
2 2
( , ) ( ), ( ) .
t t
L
F x y dl F x t y t x y dt
Если плоская кривая задается явно уравнением y f(x), x [, ], то
последняя формула записывается в форме
2
( , ) , ( ) 1 ( ) .
b
L a
F x y dl F x f x f x dx
4.1. Вычислить
,
ydl
где )а — часть кубической параболы y x
3
,
0 x 2; )б — , отрезок соединяющий точки A(0, 0) и B(2, 4).
)а
 
2
2 2 2
3 3 3 4 4 4
0 0 0
1
1 1 9 1 9 9 1
36
ydl x x dx x x dx x d x
2
3 2
4 3
0
2 1
1 9 145 1 .
36 3 54
x
)б , Уравнение прямой проходящей через точки A и B, можно записать
в виде y 2x. Если 0 x 2, (то точка x, y) принадлежит отрезку AB.
Поэтому
2
2
2 2
0
0
2 1 (2) 5 4 5 .
ydl x dx x
, 4.1, Заметим что в примере б для сведения криволинейного интеграла
-к определенному можно было воспользоваться параметрическим уравне
.нием прямой
4.2. Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы