Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

116
4.2. Вычислить
( )
xy z dl
, вдоль отрезка соединяющего точки
A(1, 2, 1) и B(2,
1,
3).
-В данном случае следует воспользоваться параметрическим уравнени
ем отрезка AB, которое можно записать в вид е
1 , 2 ,
x t y t
1 4 , 0 1.
z t t
Тогда
1, 1, 4
t t t
x y z
и, ,следовательно
1 1
2 2 2 2
0 0
( ) (1 )(2 ) ( 1 4 ) (1) ( 1) (4) 18 1 5
xy z dl t t t dt t t dt
1
2 3
0
2
5
3 2 19 .
2
2 3
t t
t
4.3. Вычислить
( 2 )
x y dl
вдоль кривой
3
3
sin ,
cos ,
x t
y t
есл и
[ ,2 ].
t
 
Так ка к
2 2
3 sin cos , 3 cos sin ,
t t
x t t y t t
то
( 2 )
x y dl
2 2
3 3 2 3 3
3 3
sin 2 cos sin 2 sin 2cos sin 2 .
2 2
t t t dt t t t dt
Раскрывая
sin 2
t
, и вычисляя полученные интегралы имеем
3 2
2
3 3 3 3
3 2
3 3 6
( 2 ) sin 2cos sin 2 sin 2cos sin 2 .
2 2 5
x y dl t t tdt t t tdt
4.4. Вычислить
2
2 5
x y z dl
, вдоль окружности образованной
пересечением сферы x
2
y
2
z
2
4 с плоскостью 2x 3y 0.
Проекция данной окружности на плоскость XOY ,есть отрезок прямой
образующий с осью OX угол
2
arctg .
3
Поэтому параметрическое
уравнение данной окружности может быть записано в виде
2 sin
x t
2 2
cos arctg , 2sin sin arctg ,
3 3
y t
z 2cos t, 0 t 2, если в качестве
- параметра взять угол между радиус вектором точки на окружности
и осью OZ. Тогда
2 2
2 cos cos arctg , 2 cos sin arctg ,
3 3
t t
x t y t
2 sin ,
t
z t
dl
2dt , ,и следовательно
2
2 5
x y z dl
2
2
0
2 2
2 2sin cos arctg 4sin sin arctg 20 cos 40 .
3 3
t t t dt
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы