Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

118
а
,
u v
r r
— д , лина этого вектора которая находится по формуле
2 2 2
, .
u u u u u u
u v
v v v v v v
y z x z x y
r r
y z x z x y
Д , ля поверхности заданной явно уравнением z (x, y), последняя
формула приобретает вид
2
2
( , , ) , , ( , ) 1 ,
x y
S D
F x y z dS F x y x y dx dy
где D — проекция поверхности S на плоскость XOY.
4.7. Вычислить поверхностный интеграл
(2 ) ,
S
x y z dS

-если поверх
ность S есть часть плоскости 3x 2y 4z 12, -ограниченная координатны
.ми плоскостями
Поверхность задается явно уравнением
12 3 2
.
4
x y
z
Тогда
2
2
29
3
1
, , 1
4 2
4
x y x y
z z z z
. -Проекция поверхности на плос
кость XOY есть треугольник D, ограниченный кривыми x 0, y 0,
3x2y12. Поэтому
12 3 2 29
(2 ) 2
4 4
S D
x y
x y z dS x y dxdy
12 3
4 4
2
2
0 0 0
29 29
39
( 12 11 6 ) 36 30 7 29 .
16 16 4
x
dx x y dy x x dx
4.8. Вычислить поверхностный интеграл
(2 3 ) ,
S
x y z dS
-если по
верхность S есть полусфера
2 2
4
x y z
.
2, -Данная поверхность есть часть сферы радиуса лежащая в полупро
странстве x 0. , Вспомним что в сферической системе координат
x cos sin, y sin sin, z cos, где
— -длина радиус вектора
; точки — - угол между проекцией радиус вектора точки на плоскость XOY
и осью OX; — - угол между радиус вектором точки и осью OZ, -коорди
натной поверхностью при фиксированном R и
[0,2 )
,
[0, ]
я -в
ляется сфера радиуса R. -Если точка принадлежит заданной в условии по
, ловине сферы то угол меняется в пределах
3
2 2
, а угол —
0в пределах . -Поэтому одно из возможных параметрических уравне
ний данной половины сферы можно записать в виде
2 cos sin ,
x
2sin sin ,
y
2 cos
z
, где
3
, 0 .
2 2
-То же самое в век
торной форме имеет вид r (2cos sin )i (2sin sin )j (2cos )k,
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы