Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

117
4.5. Вычислить
xydl
, вдоль части окружности лежащей в первом
октанте и образованной пересечением сферы x
2
y
2
z
2
4 -с плоскос
тью z a.
Проекция данной окружности на плоскость XOY есть окружность
x
2
y
2
4 a
2
. -Параметрическое уравнение данной части окружности мо
жет быть записано в вид е
2
4 cos ,
x a t
2
4 sin , , 0 ,
2
y a t z a t
- -если в качестве параметра взять угол между проекцией радиус векто
ра точки окружности на плоскость z a и плоскостью XOZ. Тогда
2 2 2
4 sin , 4 cos , 0, 4
t t t
x a t y a t z dl a dt
, -и следователь
, но
3 2 3 2
2 2
2
3 2 2
2 2
0
0
4 4
4 sin cos sin .
2 2
a a
xydl a t t dt t
4.6. Найти длину дуги одного витка винтовой линии x cos t, y sin t,
z t, 0 t 2.
, Из определения криволинейного интеграла первого рода следует что
.
L
l dl
Так как
sin , cos , 1,
t t t
x t y t z
то
2 ,
dl dt
и поэтому
2
0
2 2 2 .
L
l dl dt
При параметрическом
( , ),
( , ),
( , )
x x u v
y y u v
z z u v
, , или что то же самое векторном
( , )
( , ) ( , ) ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ,
( , )
T
x u v
u v y u v x u v y u v z u v x u v y u v z u v u v D
z u v
r i j k
задании поверхности поверхностный интеграл первого рода вычисляется
по формуле
( , , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) , ,
u v
S D
F x y z dS F x u v y u v z u v r r du dv
где
,
u v
r r
— [1,векторное произведение
2] векторов
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
u u u u
v v v v
r u v x u v y u v z u v
r u v x u v y u v z u v
i j k
i j k
вычисляемое по формуле
, ,
u u u u u u
u v u u u
v v v v v v
v v v
y z x z x y
r r x y z
y z x z x y
x y z
i j k
i j k
4.2. Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы