Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

119
3
, 0 .
2 2
, -Другая параметризация получается если в сфери
ческой системе координат поменять роли осей OX и OZ. Соответствующее
уравнение будет иметь ви д
2 cos , 2 cos sin , 2 sin sin ,
x y z
где 0 2 — - -угол между проекцией радиус вектора точки сферы на плос
кость YOZ и осью OY,
2
— - угол между радиус вектором точки
сферы и осью OX.
. Воспользуемся первой параметризацией Тогда
( 2 sin sin , 2 cos sin ,0) ,
T
T
r
r
Вычисляя векторное произведени е
,
r r
э , тих векторов получаем
, 2 sin sin 2cos sin 0
2 cos cos 2 sin cos 2 sin
r r
 
i j k
, -или раскладывая этот опре
, делитель по элементам первой строки имее м
2
, 4sin cosr r
i
2
4 sin sin 4 cos sin .
j k
( ) , Вычисляя модуль длину этого вектора получае м
,r r
 
2 2
2
2 2
4sin cos 4 sin sin 4 cos sin 4 sin .
Поэтому
4 sin ,
dS d d
, ,и следовательно
(2 3 )
S
x y z dS
3 2
2 0
(4 cos sin 2sin sin 6 cos ) 4 sin 16 .
d d
, -Мы получим тот же результат если воспользуемся второй параметри
зацией или явным уравнением
данной
.части сферы
4.9. Вычислить площадь поверхности той части параболоида
z 4 x
2
y
2
, которая лежит в полупространстве z 0.
, Из определения поверхностного интеграла первого рода следует что
.
S d
Так как
2 , 2 ,
x y
z x z y
то
2 2
1 4 4 ,
d x y dxdy
-и поэто
му
2 2
1 4 4 ,
D
S x y dxdy
где D — проекция поверхности на плоскость
XOY. 2.Эта проекция есть круг с центром в начале координат радиуса
, Переходя в последнем интеграле к полярным координатам получаем
3
2 2
2
0 0
2 17 1
1 4 17 17 1 .
12 6
S d d
4.2. Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы