Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

122
( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( )
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt
( , , ) ( , , ) ( , , ) .
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
В случае плоской кривой
( )
( ) ( ), ( )
( )
T
x t
r t x t y t x t y t
y t
i j
-полу
чим
( , , ), ( ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
( , ) ( , ) .
P x y dx Q x y dy
Если плоская кривая задана явно уравнением y f(x), x[a,b], -то по
следняя формула приобретает вид
( , , ), , ( ) , ( ) ( ) .
b
a
F x y z dl P x f x dx Q x f x f x dx
, -Заметим что все формулы для вычисления криволинейного интегра
, -ла второго рода получены при соглашении что направлением обхода кри
, вой считается направление задаваемое вектором касательной r(t), если
, кривая задана параметрически или векторно и вектором касательной
1, ( )
T
f x
, е . - сли кривая задана явно Если по каким либо соображениям
, -обходить кривую необходимо в обратном направлении то все знаки в фор
.мулах нужно поменять на противоположные
4.18. Вычислить
( 2 ) :
x y dx xydy
)а вдоль кривой y ln x от точки A(1,0) до точки B(e,1);
)б вдоль кривой x cos
2
t, y sin t, 0 t -в сторону увеличения пара
;метра
)в , вдоль отрезка соединяющего точки A(1,2), B(3,2) в направлении
от A к B.
)а Так как
dx
dy
x
, то
( 2 )
x y dx xydy
2 2
1
1
5
ln
( 2 ln ) 3 ln 3 .
2 2
e
e
x e
x xdx
x x dx x x x
x
)б Так как dx –2cos t sin t dt, dy cos t dt, то
( 2 )
x y dx xydy
2 2
0
cos 2sin ( 2 cos sin ) cos sin cos
t t t t t t t dt
4 3 4
0
2 cos 4sin cos
0.
4 3 4
t t t
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы