Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 131 стр.

UptoLike

Составители: 

131
Поэтому параметрическое уравнение данной части конуса можно
запи сать в виде
3 cos 3 sin
cos sin , sin sin ,
4 4
2 2
x y
3
cos
4
2
z
, , или что то же самое в векторной форме
cos
2
r i
sin
, 0 2 , 0 4 2 .
2 2
j k Тогда
cos sin 1
,
2 2 2
r
sin cos
2 2
r
i j
, -и вычисляя векторное произведение этих векто
, ров имеем
cos sin 1 cos sin
, .
2 2 2
2 2 2
sin cos
0
2 2
r r
i j k
i j k
Этот вектор образует с осью OZ , -острый угол так как скалярное произ
ведение
, , 0,
2
r r
k
, , -и следовательно является внешней норма
( ,лью нужной нам половины конуса внешняя нормаль к половине конуса
лежащей в полупространстве z
0, образует с осью
OZ , тупой угол а внешняя нормаль к половине
, конуса лежащей в полупространстве z
0, -обра
зует с осью OZ ). -острый угол Подставляя выраже
ния x, y, z в функцию f и вычисляя скалярное
произведение
, ,
f r r
, получаем
, ,f r r
2
0,5 sin 2 2 cos2 1 2cos 2sin 2 .
2 2
Поэтому поток вектора через
поверхность равен
4 2 2
2
0 0
64
, 0,5 sin 2 2 cos 2 1 2 cos 2 sin .
3
2 2
S
f dS d d
4.28. Вычислить поток вектора
, , , ,
T
f x y z yz x y x z
-через боко
вую поверхность цилиндра x
2
z
2
9, 0 y 4 .в сторону внешней нормали
-Одно из параметрических уравнений данного цилиндра можно запи
сать в виде x 3sin , y
y, z 3cos , , или что то же самое в векторной
форме r(y,) (3sin , y, 3cos )
T
, где -угол между проекцией радиус
вектора точки на плоскость XOZ и осью OZ, меняющийся в пределах
4.3. Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)