Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

134
с областью определения G R
3
(D R
2
). , Аналогично говорят что в
области G R
3
(D R
2
) , -задано скалярное поле если задана скалярно
значная функция f : G R
3
R
(f : D R
2
R) с областью определения
G R
3
(D R
2
).
-Если областью определения векторного поля является множество то
, . -чек на плоскости то поле называют плоским Векторное поле можно ин
, терпретировать как множество точек к каждой из которых присоединен
.вектор
Вектор
grad , ,
T
T
U U U
U U
x y z
называется градиентом
( ).скалярной функции скалярного поля
Скаляр
cos cos cos
U U U U
a x y z
-называется произ
водной по направлению вектора
a
-от скалярной функции векторно
.го аргумента
Более подробно о градиенте и производной по направлению можно
[3,4].прочитать в
( - ) , Векторное поле вектор функцию назовем потенциальным если
( ) существует скалярная функция скалярное поле U(x,y,z) , такая что
grad , , , ,
T T
. Ф ункцию U -назовем при этом по
тенциалом поля f.
, Заметим что если U — потенциал поля f, то U C тоже потенциал
.этого поля
[5] , В показано что векторное пол е
( , , ) ( , , ) ( , , )
f x y z P x y z Q x y z
i j
( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )
T
R x y z P x y z Q x y z R x y z
k
я вляется потенциальным в
област и
3
R
т , -огда и только тогда когда выполнено одно из двух ус
:ловий
1) -криволинейный интеграл второго рода по любому замкнутому кон
туру L, полностью лежащему в , равен нулю
, 0 для
L
f dl L
, , , -или что то же самое циркуляция поля по любому замкнутому пути пол
ностью лежащему в , ;равна нулю
2) если A
1
, A
2
— любые две точки из и L
1
,
L
2
— -две произволь
, , ные кривые их соединяющие то
1 2
, ,
L L
f dl f dl
, -то есть криволиней
.ный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования
Если поле потенциально и U(x,y,z) — , его потенциал то
2 1
, .
L
f dl U A U A
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы