Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

136
Тогда
8 8 8
grad (1, 4, 2) 2 , , 3
T
u e e e
. , Далее длина вектора
a
-рав
на
2 2 2
2 2 1 3
a
. , Следовательно
2 2 1
, ,
3 3 3
T
a
a
. Тогда
4 2
(1, 4, 2) grad (1, 4, 2), .
3 3
u a
u e e e e
a a
4.39. , Доказать что поле
2
2 2
2
2 1
( , ) 2 1 2
2
xy
f x y xy x y
x y
i j
-потен
.циально и восстановить его потенциал
Так как
4 ,
P
xy
y
4
Q
xy
x
, то
Q P
x y
и
. -поле потенциально во всей плоскости Следователь
, но криволинейный интеграл
0
A
A
Pdx Qdy
-по лю
, , бому пути соединяющему две точки не зависит
. -от пути интегрирования В качестве начальной точ
к и интегрирования A
0
(0,0). выберем начало координат Конечную точку
(возьмем произвольную с координатами x,y). Наиболее простыми путями
, -интегрирования являются две возможные ломаные состоящие из отрез
, . , -ков прямых параллельных координатным осям Поэтому для пути изоб
( , (раженного на рисунке с учетом того что x
0
,y
0
) (0,0)),
0
( , ) ,
A
A
U x y f dl
2 2 2
0 0 0 0
( , 0) ( , ) (2 0 1) 2 .
y y
x x
P x dx Q x y dy x dx x y dy x x y
,Таким образом U(x,y) x x
2
y
2
. , Заметим что функция x x
2
y
2
C
.также является потенциалом исходного поля
4.40. , Доказать что поле
2 2 2
, , 2 , , 2 2
T
f x y z xyz x z x y z xyz x z
i j
2
2 , ,
T
x y z P Q R
k
п .отенциально и восстановить его потенциал
Найдем
rot
R Q P R Q P
f
y z z x x y
i j k
. Так как
2
,
R
x
y
2
,
Q
x
z
2 , 2 ,
P R
xy xy
z x
2 ,
Q
xz
x
2 ,
P
xz
y
то rot f 0 -и поле потен
. , циально во всем пространстве Следовательно криволинейный интеграл
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы