Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

137
0
A
A
Pdx Qdy Rdz
, -по любому пути соединяю
, -щему две точки не зависит от пути интегриро
. -вания В качестве начальной точки интегриро
вания A
0
(0,0,0).выберем начало координат
Конечную точку возьмем произвольную с
координатами (x,y,z). -Наиболее простыми пу
, -тями интегрирования являются возможные ломаные состоящие из отрез
, . , -ков прямых параллельных координатным осям Поэтому для пути изоб
( , раженного на рисунке с учетом того что (x
0
,y
0
,z
0
) (0,0,0)),
( , , )
U x y z
0
0 0 0 0
, ( , 0, 0) ( , ,0) ( , , ) (2 0 0)
y
A x z x
A
f dl P x dx Q x y dy R x y z dz x dx
2 2 2 2
0 0
0 2 .
y
z
x z dy x y z dz x yz z
,Таким образом U(x,y,z) x
2
yz z
2
. , -Заметим что любой другой потен
циал исходного поля равен x
2
yz z
2
C.
Назовем величину
div ( , , )
P x y z Q x y z R x y z
F x y z
x y z
-ди
вергенцией векторного поля F .или функцией источника
.Для векторных полей имеют место следующие теоремы
( ). Теорема Стокса Пусть L — - -замкнутый кусочно гладкий кон
тур в R
3
, S — - , любая кусочно гладкая поверхность натянутая
на L. Согласуем ориентации L и S , -так чтобы если смотреть из кон
ца вектора нормали к S, , определяющего сторону то обход L -совер
. шался бы против часовой стрелки Тогда если f — дифференцируемая
, функция то циркуляция вектора f по контуру L -равна потоку векто
rotра f через поверхность S, , натянутую на этот контур то есть
, ( , , ) ( , , ) ( , , ) rot , .
L L S
f dl P x y z dx Q x y z dy R x y z dz f dS
.Эта формула называется формулой Стокса
В случае плоской области теорема Стокса формулируется следующим
.образом
( ). Теорема Грина Пусть D — -плоская область с кусочно гладкой
границей D, и D , -ориентирована так что обход по ней в положи
. , тельном направлении совершается против часовой стрелки Тогда если
f(x,y) — , дифференцируемая функция то
, rot , .
D D D D
Q P
f dl Pdx Qdy f dxdy dxdy
x y
 
.Эта формула называется формулой Грина
y
z
x
( , , )
x y z
0 0 0
( , , )
x y z
0
( , , )x y z
0 0
( , , )
x y z
4.4. Элементы теории поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы