Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

138
. Теорема Пусть G — область в R
3
и G — -кусочно гладкая
граница G, . ориентированная в сторону внешней нормали Тогда
если f(x,y,z) — , дифференцируемая функция то поток вектора через
границу области G равен интегралу по области G от div f, то есть
, div ( , , ) .
G G
f dS f x y z dxdydz
- .Эта формула называется формулой Гаусса Остроградского
-Перечисленные теоремы позволяют упростить вычисление криво
-линейных и поверхностных интегралов в случае замкнутых кривых и по
.верхностей
4.41. Вычислить циркуляцию пол я
2 2
, ,
T
f x y x y xy x y
i
xy
j
в , доль замкнутой кривой пробегаемой против часовой стрелки
и состоящей из отрезка оси OX и дуги
4
y x x
.
Ц иркуляция поля равна криволинейному интегралу второго рода
. , по замкнутому контуру Так как кривая плоская и замкнутая то для
вы чис лен ия этого инт егр ала в о спо льз уемся фор мул ой Гри на
,
L D
Q P
f dl dxdy
x y
, где D — , область ограниченная исходным
. контуром По формуле Грина имеем
2
( ) 3
L D
x y dx xy dy ydxdy
.
В данном случае область D можно задать неравенствам и
2 2
4 ,
x y x
0
x
. Р , асставляя пределы интегрирования и вычисляя получаем
2
4
4 4 4
2 3
2
0 0 0
0
4
3 3 3 3 16.
2 2
x x
D
x x x
ydxdy dx ydy dx x
4.42. Вычислить ци ркуляцию пол я
2
, ,
f x y z xz y xy
i j
2
xy z
k
в доль контура треугольника с вершинами в точках A(2,0,0),
B(0,1,0), C(0,0,4), пробегаемого в порядке следования точек ABCA.
, -Так как кривая пространственная и замкнутая то воспользуемся фор
. , , мулой Стокса В роли поверхности натянутой на контур удобно взять
, часть плоскости в которой лежит треугольник ABC, -ограниченную коор
. динатными плоскостями Так как
,
R
x
y
0,
Q
z
,
P
x
z
,
R
y
x
,
Q
y
x
2 ,
P
y
y
, то вычисляя rot
R Q P R Q P
f
y z z x x y
i j k
, -полу
чаем
rot
f x x y y
i j k
, и по формуле Стокса
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы