Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

140
4 sin sin , 4 cos ,
y z
гд е
0 , 0
2 2
и , ,ли что то же самое
в векторной форм е 4cos sin 4sin sin 4 cos
r i j k
. Тогда
( 4sin sin , 4 cos sin , 0) ,
T
T
r
r
 
Поэтому
2 2
, 16 sin cos 16 sin sin 16cos sin .
r r
 
i j k
. Этот вектор направлен внутрь сферы Поэтому в качестве вектора
нормали берем векто р
,
r r
. П одставляя выражения x, y, z -в функ
rotцию f и вычисляя скалярное произведени е
rot , ,
f r r
, п -олуча
е м
3 2
rot , , 32sin sin 2 64sin cos sin 8 sin 2 .
f r r
Поэтому
2 2
3 2
0 0
128
, (32sin sin 2 64sin cos sin 8 sin 2 ) 4 .
3
S
f dS d d
 
4.44. Вычислить поток вектора
3 2
( , , ) 2 3 , 4 , 2
T
f x y z x z x y x y z
, -через внешнюю сторону пирамиды образованной координатными плоско
стями и плоскостью
2
x y z
.
, , Так как поле дифференцируемо а поверхность замкнута то поток
( . 4.25) можно вычислить непосредственно см задачу или воспользоваться
- . - теоремой Гаусса Остроградского По теореме Гаусса Остроградского поток
-векторного поля через внешнюю сторону поверхности может быть вычис
лен по формуле
, div ( , , ) ,
S G
f dS f x y z dxdydz
где S — -внешняя сторо
; на пирамиды G — , . область заключенная внутри пирамиды Вычисляя
, дивергенцию получаем
div ( , , ) 2 1 2 3 2 .
P Q R
f x y z z z
x y z
- , Подставляя в формулу Гаусса Остроградского имеем
, 3 2 .
S G
f dS z dxdydz

, Расставляя пределы интегрирования в интеграле справа получаем
2
2 2
0 0 0
3 2 3 2 .
x y
x
G
z dxdydz dx dy z dz

, Вычисляя полученный интеграл окончательно имеем
, 2
S
f dS

.
4.45. Найти поток векторного поля f(x,y,z)
xzi
xyj
yzk
(xz,xy,yz)
T
, через внешнюю сторону поверхности ограниченной конусо м
2 2
z x y
и плоскостью z 3.
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы