Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

139
2 2
, ( )
rot , ( ) ( ) .
L L
S S
f dl xz y dx xy dy xy z dz
f dS xdydz x y dxdz y dxdy
 
, Уравнение плоскости в которой лежит треугольник ABC, имеет
вид 2x 4y z 4 0, , , или переписывая в явном виде z 4 2x 4y.
-Плоскость однозначно проектируется на все три координатные плоско
, сти и поверхностный интеграл может быть вычислен проектированием
. на любую из них Вычислим его проектированием на плоскость XOY.
Так ка к
2
x
z
,
4
y
z
, то
( ) ( )
S
x dydz x y dxdz y dxdy
2 ( ) 4 ( ) (6 5 ) ,
D D
x x y y dxdy x y dxdy
 
где D — проекция нашей
поверхности на плоскость XOY. Так как D , -есть треугольник ограни
ченный прямыми x 0, y 0, x 2y 2, , -то расставляя пределы интег
, рирования и вычисляя получаем
2 2
1
0 0
(6 5 ) (6 5 )
y
D
x y dxdy dy x y dx
1 1
2 2
2 2
0
0 0
7
3 5 3 (2 2 ) 5 (2 2 ) .
3
y
x xy dy y y y dy
4.43. Найти циркуляцию поля
2
, , , , 2
T
f x y z x y xy x z
2
2
x y xy x z
i j k
в , доль контура образованного пересечением
части сферы
2 2 2
16
x y z
, л , -ежащей в первом октанте с координатны
. — ми плоскостями Направление обхода в порядке следования точек ABCA,
где A(4,0,0), B(0,4,0), C(0,0,4).
, -Так как кривая пространственная и замкнутая то воспользуемся фор
. , , мулой Стокса В роли поверхности натянутой на контур удобно взять
часть сферы
2 2 2
16
x y z , лежащую в первом октанте и ограниченную
. координатными плоскостями Так ка к
0,
R
y
0,
Q
z
0,
P
z
4 ,
R
x
x
,
Q
y
x
1,
P
y
, то вычисля я
rot ,
R Q P R Q P
f
y z z x x y
i j k
получае м
rot 4 1 ,
f x y
j k
и по формуле Стокса
2
, ( ) 2
rot , 4 ( 1) .
L L
S S
f dl x y dx xydy x z dz
f dS xdxdz y dxdy
-Для вычисления последнего интеграла воспользуемся параметри
( . 4.8 4.26ческим уравнением сферы см задачи и )
4cos sin ,
x
4.4. Элементы теории поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы