Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

142
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5.1. Уравнения первого порядка
5.1.1. Общие сведения
. 5.1 -Предварительно рекомендуется изучить подразд учебного посо
[5].бия
1- Дифференциальным уравнением го порядка называется уравнение
вида
, , 0.
F x y y
(5.1)
(5.1) , Уравнение называется уравнением разрешенным относительно
, производной если его можно записать в виде
( , )
y f x y
(5.2)
, , или что то же самое в так называемой дифференциальной форме
( , ) ( , ) 0 .
M x y dx N x y dy (5.3)
Функции f(x,y), M(x,y), N(x,y) -предполагаются заданными на неко
тором множестве D плоскости R
2
.
.Определение Функция (x), -заданная на отрезке или интерва
(ле a,b), -называется решением дифференциального уравнения в облас
ти D, если при подстановке (x) -в уравнение она обращает его в тож
.дество в этой области
-Решить дифференциальное уравнение означает описать всю совокуп
. -ность его решений Процесс нахождения решений дифференциального урав
, , нения как и любого другого уравнения состоит в преобразовании его
, . к такому виду из которого это решение легко находится При этом два
уравнени я
1
, , 0
F x y y
и
2
, , 0
F x y y
н -азовем эквивалентными в об
ласти D, . -если решения одного из них являются решениями другого Иде
-альным было бы при нахождении решения осуществлять переход к экви
. . валентным уравнениям Это не всегда удается Поэтому в процессе
, -преобразований мы должны следить чтобы не терять решений и не приоб
.ретать новых
-Большинство методов решений дифференциальных уравнений заклю
чается в сведении их к уравнению вида
f
1
(x) dx f
2
(y) dy, (5.4)
. , которое очень просто решается Действительно если y(x) есть решение
, этого уравнения то в силу инвариантности формы первого дифференциала
можем записать
1 2
( ) ( )
f x dx f y dy
. , -Равенство подразумевает что мно
-жество всех первообразных в левой части равно множеству всех первооб
. разных в правой части Если
1
(x) — - какая нибудь первообразная левой
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы