Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

143
, части а
2
(y) — , -правой части то последнее соотношение можно пере
писать в виде равенства
1
(x)
2
(y) C, разрешая которое относительно y,
(5.4).получаем всю совокупность решений уравнения
Множество решений дифференциального уравнения y f(x,y) есть
, . некоторое семейство функций зависящее от константы Для уравнения
, первого порядка требования при выполнении которых можно выделить
, -конкретное решение этого уравнения формулируются следующим обра
.зом
Найти решения дифференциального уравнения y f(x,y), -удовлетво
ряющие условиям
0 0
.
y x y
(5.5)
, Сформулированные условия называются условиями Коши а задача
, , — о выделении решения удовлетворяющего условиям Коши задачей
Коши.
-Условия разрешимости задачи Коши приведены в теореме существо
[5]. ,вания и единственности Приведем эту теорему с легче проверяемыми
, [5] но более жесткими чем в условиями на функци ю
( , )
f x y
.
( ).Теорема существования и единственности Пусть в уравнении
(5.2)
( , )
функция f(x,y), заданная в области D ,на плоскости
непрерывна по совокупности переменных x, y и имеет непрерывную
производную по y. Тогда для любой точк и
0 0
,
x y D
существуют
интерва л
0 0
,x x
и функция
( )
y x
, з -аданная на этом интер
, вале так что
( )
y x
(5.2), -есть решение уравнения удовлетворяю
(5.5). , щее условию Это решение единственно в том смысле что если
( )
y x
е (5.2), сть решение уравнения определенное на интервале
( , )
, вк лючающем в себя точку x
0
, (5.5),и удовлетворяющее условию
то функци и
( )
x
и
( )
x
с , .овпадают там где они обе определены
При выполнении этих условий через точку
0 0
,
x y D
проходит только
(5.1). -одно решение уравнения Если условия теоремы нарушаются в неко
, торой точке то через нее может проходить больше чем одно решение
( ) ( -нарушается единственность либо не проходить ни одного решения нару
).шается существование
.Определение Семейство
( , )
y x C
-решений дифференциально
(5.3) , -го уравнения назовем его общим решением если для любого на
бора начальных данны х
0 0
,
x y D
найдется константа
C
, н -а кото
, , рой этот набор реализуется то есть такая что для решени я
,
y x C
выполнены начальные услови я
0 0
,
y x C
.
5.1. Уравнения первого порядка
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы