Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

144
5.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида
1 2
( ) ( )
y f x f y
(5.6)
или
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
M x M y dx N x N y dy
(5.7)
.называются уравнениями с разделяющимися переменными
При f
2
(y) 0 для
y [c,d], (5.6) разделив обе части на f
2
(y), -полу
(5.4) чаем уравнение вида
1
2
( ) ,
( )
dy
f x dx
f y
.решать которое мы умеем
(5.7), Аналогично для уравнения если M
2
(y) 0, N
1
(x) 0
x [a,b],
y [c,d], (5.4)получаем уравнение вида
2 1
2 1
( ) ( )
( ) ( )
N y M x
M y N x
.
, Заметим что есл и
2 0
0
f y
или
2 0 1 0
0, 0,
M y N x
т -о мы долж
, ны проверить являются ли функции y y
0
, x x
0
решениями исходного
, -дифференциального уравнения чтобы не потерять их в процессе нахожде
.ния решения
Уравнени е
( )
y f ax by c
с -водится к уравнению с разделяющими
ся переменными либо заменой z ax by c, либо заменой z ax by.
5.1. Решить уравнение
2 3
x y
y e
.
Имеем
2 3
,
x y
y e e
откуда
3 2y x
e dy e dx
, ,или интегрируя обе части
3 2
1 1
3 2
y x
e e C
, , и наконец
2
1 3
ln .
3 2
x
y e C
5.2. Решить уравнение
2
9 0.
xydx x dy
, В предположении что
2
9 0
y x
, получаем
2
9
dy x dx
y
x
, -или интег
, рируя
2
1
ln ln 9 ln ,
2
y x C
отсюда
2
9 .
y C x
Решение y 0 -полу
чается при C 0, а решения x = 9 . ,не содержатся в нем Таким образом
решение уравнени я
2
9, 9.
y C x x
5.3. Решить уравнение
3 3
10 .
x x
e dy ye dx
, В предположении что y 0, получаем
3
3
10
x
x
dy e dx
y
e
, ,или интегрируя
3
1
ln ln 10 ln ,
3
x
y e C
отсюда
3
3
10 .
x
y C e
Решение y 0 -получа
ется при C 0.
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы