Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

146
Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению
с разделяющимися переменными заменой y xu , или что то же
, самое
,
y
u
x
где u — .новая искомая функция
Тогда y u ux, , ,или что то же самое dy udx xdu. Подставляя y
и y , -в исходное уравнение получаем уравнение с разделяющимися пере
.менными
Уравнения вида
1 1 1
2 2 2
a x b y c
y f
a x b y c
-приводятся к однородным пере
носом начала координат в точку пересечения прямых a
1
x b
1
y c
1
0,
a
2
x b
2
y c
2
0, если определитель
1 1
2 2
a b
. отличен от нуля Если этот
, определитель равен нулю то замена a
1
x b
1
y z -превращает исходное урав
.нение в уравнение с разделяющимися переменными
5.19. Решить уравнение
4 3
.
y x
y
y
Функция
4 3
y x
y
— однородная
, нулевой степени так как
4 3 4 3
.
ty tx y x
ty y
Поэтому данное уравнение
. однородное Делаем замену
.
y xu
Тогда
y u u x
, и подставляя y и
y
, в уравнение получаем
4 3 4 3
ux x u
u u x
ux u
, , ,или что то же самое
2
4 3 4 3
.
u u u
u x u
u u
, Разделяя переменные имеем
2
.
4 3
udu dx
x
u u
, Интегрируя получаем
2
4 3
udu dx
x
u u
. -Вычислим вначале интег
. 1 3,рал в левой части Корни знаменателя подынтегральной функции и
-поэтому она может быть разложена на простейшие дроби следующим обра
: зом
2 2
3 ( ) 3
.
3 1 ( 3)( 1)
4 3 4 3
u A B Au A Bu B A B u A B
u u u u
u u u u
-При
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях u, получаем систему
уравнений
1,
3 0
A B
A B
для нахождения A и B. , -Решая эту систему име
ем
1 3
, .
2 2
B A
, Таким образом
2
3 2 1 2
3 1
4 3
udu
du du
u u
u u
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы