Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

147
3 1
ln 3 ln 1 .
2 2
u u
Поэтому
1 3
ln 1 ln 3 ln ln ,
2 2
u u x C
-отку
да
3
1
3
u
Cx
u
или
3
1
.
3
y x
Cx
y x
При делении на x мы ничего
, не потеряли так как x
0 .не является решением исходного уравнения
При делении н а
2
4 3 ( 1)( 3)
u u u u
м ,ы могли потерять решения
соответствующие значениям u
1 и u
3. Случай u
1 дает решение
y
x, содержащееся в найденном решении при C
0, а случай u
3 дает
решение y
3x, .в найденном решении не содержащееся
5.20. Решить уравнение
2 2
0.
y xy dx x dy
, Это однородное уравнение так как y
2
xy и x
2
— -однородные функ
. ции второй степени Делаем замену y xu, dy udx xdu. Подставляя
, в уравнение имее м
2 2 2 2
0.
x u x u dx x udx xdu
, Раскрывая скобки приводя подобные и сокращая на x
2
, -получаем урав
нение с разделяющимися переменными u
2
dx xdu 0.
, Разделяя переменные получаем
2
.
du dx
x
u
Интегрируя последнее
, соотношение имеем
1
ln .
x C
u
Делая обратную замену
,
y
u
x
получаем
ln .
x
x C
y
При сокращении на x
2
мы потеряли решение x 0, которое
. , в найденное решение не входит Кроме того мы могли потерять решения
при делении на u
2
. Это дает решение y 0, -также не входящее в най
.денное
5.21. Решить уравнение
2 3 6 0.
x y dx x y dy
Точка пересечения прямы х
2 3 0,
x y
6 0
x y
и -меет коорди
наты x 3, y 3. Поэтому делаем замену
1
3,
x x
1
3
y y
, -или вы
ражая старые координаты через новы ,е x x
1
3,
1
3.
y y
Тогда dx dx
1
,
dy dy
1
,
1 1
2 3 2 ,
x y x y
1 1
6 .
x y x y
В -новых координатах уравнение переписывается в виде однородно
го уравнени я
1 1 1 1 1 1
2 0.
x y dx x y dy
Д елаем замену
1 1
,
y x u
1 1 1
.
dy udx x du
П , одставляя в уравнение имее м
1 1 1 1 1
2x ux dx x ux
1 1
0.
udx x du
Ра , -скрывая скобки и приводя подобные получаем урав
нение с разделяющимися переменным и
2 2
1 1 1
2 1 0 .
x u dx x u du
, Разделяя переменные получаем
1
2
1
( 1)
.
2
dx
u du
x
u
Интегрируя последнее
5.1. Уравнения первого порядка
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы