Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

149
:Алгоритм этого метода следующий
1) -ищем вначале общее решение соответствующего однородного урав
нени я
1 0
( ) ( ) 0;
a x y a x y
о но записывается в виде y(x) Cy
1
(x);
2) (5.8) ищем решение исходного уравнения в виде y(x) C(x)y
1
(x);
подставляя y и
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y x C x y x C x y x
в , -исходное уравнение полу
чаем равенство для нахождения C(x), , а следовательно и C(x).
Дифференциальное уравнение
0
( ) ( ) , 0, 1,
n
y a x y b x y n n
.называется уравнением Бернулли
Заменой
1
1
n
y
-уравнение Бернулли превращается в линейное урав
.нение
5.33. Решить уравнение
2
3 .
x
y y e
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
3 0.
y y
Решая
, его получаем
3 ,
dy
dx
y
ln 3 ln ,
y x C
3
.
x
y Ce
Ищем теперь решение
исходного уравнения в вид е
3
( ) .
x
y C x e
П одставляя y и y
C(x)e
3x
3C(x)e
3x
, в исходное уравнение имее м
( ) ,
x
C x e
откуда C(x) e
x
C
1
,
и y(x) C
1
e
3x
e
2x
— .общее решение исходного уравнения
5.34. Решить задачу Коши
2 2
3 6 , (0) 3.
y x y x y
Рассмотрим соответствующее однородное уравнени е
2
3 0.
y x y
Р -е
, шая его получаем
2
3 ,
dy
x dx
y
3
ln ln ,
y x C
3
.
x
y Ce
Ищем теперь
решение исходного уравнения в вид е
3
( ) .
x
y C x e
Подставляя y и
3 3
2
( ) 3 ( )
x x
y C x e x C x e
в , исходное уравнение имее м
3
2
( ) 6 ,
x
C x x e
-от
куда
3
1
( ) 2
x
C x e C
и y(x)
3
1
2
x
C e
— -общее решение исходного урав
. , нения Подставляя начальные данные получаем y(0) 2 C
1
e
0
3 , -и сле
, довательно C
1
5. Поэтому искомое решение задачи Коши имеет вид
3
( ) 2 5 .
x
y x e
5.35. Решить уравнени е
5
2 3 .
xdy ydx x dx
Э то линейное относительн о y и
y
у , -равнение так как его можно пере
писать в вид е
5
2 3 .
xy y x
-Решая соответствующее последнему однород
ное урав нение
2 0,
xy y
получаем последовательно
2 ,
dy
x y
dx
2
,
dy dx
y x
ln 2 ln ln
y x C
, , и наконец
2
.
y Cx
-Ищем теперь реше
ние уравнени я
5
2 3
xy y x
в виде
2
( ) .
y C x x
П одставляя в него
5.1. Уравнения первого порядка
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы