Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

150
y и
2
( ) 2 ( ) ,
y C x x C x x
имеем
2
( ) 3 ,
C x x
откуда
3
1
( ) .
C x x C
П -одстав
ляя полученное выражение C(x) в y(x), получаем общее решение
3 2 5 2
1 1
( )
y x x C x x C x
уравнения
5
2 3 .
xy y x
П -ри переходе от ис
ходного уравнения к уравнению
5
2 3
xy y x
мы потеряли решение x 0,
.которое в найденное не входит
5.36. Решить уравнение
3
4 .
y x dy ydx
, Вспоминая что переменные x и y -в дифференциальном уравнении рав
, ноправны и переписывая его в виде
3
4
y x yx
и , ,ли что то же самое
в форме
3
4 ,
yx x y
в , идим что данное уравнение является линейным
относительно x и x. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
0.
yx x
, Решая его получаем
,
dy
dx
x y
ln ln ln ,
x y C
x Cy. Ищем
теперь решение уравнения
3
4
yx x y
в виде x C(y)y. Подставляя x
и
( ) ( )
x C y y C y
в , него имеем C(y) 4y, откуда C(y) 2y
2
C
1
, и x(y)
2y
3
C
1
y — общее решение уравнени я
3
4 .
yx x y
П ри преобразовании
исходного уравнения к вид у
3
4
yx x y
м ы потеряли решение y
0, -ко
.торое в найденное не входит
5.37. Найти общее решение уравнени я
2
1
2
2 2 .
x
y xy e y
Это уравнение Бернулли при
1
.
2
n
Разделив обе части уравнения
на
,
y
получаем
2
1
2
2 2 .
x
y
x y e
y
Делаем замену
.
z y
Тогда
,
2
y
z
y
и поэтому уравнение переписывается в вид е
2
1
2
2 2 2 .
x
z xz e
Р ешая это линейное уравнение методом вариации произвольной
, постоянной получаем
2
1
2
1
( ) ,
x
z x x C e
откуда
2
1
2
1
,
x
y x C e
,или
, что то же самое
2
2
1
2
1
.
x
y x C e
При делении на
y
мы потеряли
решение y 0, .которое в полученное решение не входит
5.38. Найти общее решение уравнени я
3
3 4 2 .
yy xy y x
Это уравнение получено из уравнения Бернулли
3 1 2
3 4 2y xy x y
при
1
.
2
n
Делаем замену
3 2
.
z y
Тогда
3
,
2
z yy
-и поэтому уравне
ние переписывается в виде
3
2 .
z xz x
Э . то линейное уравнение Решаем
. вначале соответствующее однородное уравнение Имее м
2 0,
z xz
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы