Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

152
криволинейный интеграл второго рода
( , ) ( , )
L
M x y dx N x y dy
не зависит
, от пути интегрирования полностью лежащего в области D.
Если существуют непрерывные в односвязной области
2
D R
-произ
водные
, ,
M N
y x
то уравнение
M x y dx N x y dy
есть уравнение
, в полных дифференциалах тогда и только тогда когда
.
M N
y x
Пусть
0 0
,
x y D
— , фиксированная ( , )
x y D
— -произвольная точ
, ки L — , путь лежащий в D и соединяющий точк и
0 0
, , ( , )
x y x y
. Если
уравнение
M x y dx N x y dy
-есть уравнение в полных дифференци
, алах то функция u(x,y) ( (потенциал поля M,N)
T
), -вычисляемая по фор
муле
( , ) ( , ) ( , ) ,
L
u x y M x y dx N x y dy
восстанавливает функцию u(x,y)
. по ее дифференциалу В этом случае соотношение u(x,y) C описывает всю
.совокупность решений уравнения в полных дифференциалах
, Взяв в качестве пути соединяющего точки
0 0
, , ( , )
x y x y
, ломаную
, , , -линию отрезки которой параллельны осям координат получаем что функ
ция u(x,y) ( (потенциал поля M,N)
T
) может быть найдена по одной из
:формул
0 0
0
( , ) , ( , )
y
x
x y
u x y M x y dx N x y dy
или
0 0
0
( , ) ( , ) , .
y
x
x y
u x y M x y dx N x y dy
Функция u(x,y) может быть также найдена из системы уравнений
( , ), ( , ) .
u u
M x y N x y
x y
5.57. Найти общее решение уравнени я
2 2
3 2 0 .
x y dx xydy
Так как
2 2
( , )
3 2 ,
M x y
x y y
y y
( , )
(2 ) 2 ,
N x y
xy y
x x
то данное
. , -уравнение является уравнением в полных дифференциалах Поэтому вос
, станавливая потенциал получаем
 
2 3 2 3 2
0 0
0 0
( , ) 3 0 2 .
y
x
x y
u x y x dx xydy x xy x xy
( ) Тогда общий интеграл общее решение имеет вид x
3
xy
2
C.
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы