Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

153
5.58. Найти общее решение уравнения
3 2 2
2 3 2 0.
xy dx x y y dy
Так как
3 2 2 2 2
( , ) ( , )
2 6 , 3 2 6 ,
M x y N x y
xy xy x y y xy
y y x x
то
. -данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах Най
дем функцию u(x,y) из системы уравнений
3
u
xy
x
2 2
3 2 .
u
x y y
y
Из первого уравнения имеем
3 2 3
( , ) 2 ( ),
u x y xy dx x y y
гд е
( )
y
—ф -ун
, . кция которую надо найти Дифференцируя найденную функцию u(x,y)
по y, , , получаем используя второе урав нен ие
2 2
3 ( )
u
x y y
y
2 2
3 2 .
x y y
Отсюда
( ) 2
y y
или
2
( ) .
y y C
П оэтому u(x,y)
2 3 2
x y y
и соотношение
2 3 2
x y y C
.дает всю совокупность решений уравнения
Задачи для самостоятельного решения
.Найти решения дифференциальных уравнений
5.59.
3 2 2 2
2 3 2 0.
y xy dx xy x y dy
5.60.
2 2
cos 2 cos 0.
y xy y dx x y xy y dy
5.61.
3 3 4 2
4 2 3 0.
x y x dx x y dy
5.62.
2 2
2 3 0.
y dx xy y dy
-В следующих ниже задачах определить тип дифференциального урав
. нения и решить их Так как задача определения типа дифференциального
( уравнения решается неоднозначно одно и то же уравнение иногда можно
), -отнести к разным типам то приведен один из возможных вариантов от
.вета
5.63.
5 3 6 2
9 1 0 .
x y dx x y dy
5.64.
2 2 3
.
xy y x y
5.65.
4 3
5 cos sin .
x y y x y
5.66.
0.
x
xy e dx xdy
5.67.
3 2
3 4 0.
x ydy x y dx
5.68.
2 2 .
x x
y ye ye
5.69.
3 3 2
6 1 .
y y
e xdx e x dy
5.70.
2
2 2 .
x x
y ye y e
5.71.
2 3 4
2 3 ln 1 ln 0.
x x y dy y xdx
5.72.
3
0.
xy x xy y
5.73.
2 2 3
3 2 0.
x y y dx x xy dy
5.74.
2 2
2 .
x y y xy
5.75.
4 2 5 2
5 2 2 0.
x y xy dx x y x dy
5.1. Уравнения первого порядка
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы