Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

155
Условия разрешимости задачи Коши даются в теореме существования
[5]. ,и единственности Приведем эту теорему с легче проверяемыми
, [5] (5.10).но более жесткими чем в условиями на правую часть уравнения
( Теорема существования и единственности решения задачи
).Коши Если функци я
1 2
, , , ,
n
f x z z z
K
н епрерывна по совокупности
-переменных и имеет непрерывные частные производные по перемен
ны м
1 2
, , ,
n
z z z
K , т о найдется окрестность точки x
0
, -в которой реше
(5.10), (5.11),ние уравнения удовлетворяющее начальным условиям
.существует и единственно
При выполнении этих условий через точку
1 1
0 0 0 0
, , ,...,
n
x y y y D
-про
(5.10). -ходит только одно решение уравнения Если условия теоремы нару
, шаются в некоторой точке то через нее может проходить больше чем одно
( ) -решение нарушается единственность либо не проходить ни одного реше
( ).ния нарушается существование
, В отличие от уравнений первого порядка для уравнений порядка n,
, -кроме постановки задачи Коши возможны другие постановки задач о вы
. [5].делении решений Подробнее об этом можно прочитать в
Выше нами были рассмотрены методы решения некоторых классов
. -уравнений первого порядка Возникает естественное желание свести урав
. -нение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка Поря
.док уравнения удается понизить в следующих случаях
1. Уравнения вида
( )
( )
n
y f x
-решаются последовательным интегриро
ванием n раз
0 0 0
( 1) ( 2)
1 1 2
( ) , ( ) ,... .
x x x
n n
x x x
y f x dx C y f x dx dx C x C
2. В уравнениях вида
( ) ( )
, ,..., 0, 1
k n
F x y y k
( -то есть не содержа
),щих в явном виде неизвестную функцию и некоторые ее производные
порядок понижается с помощью замены переменно й
( )
( ).
k
y z x
Тогд а
( 1) ( ) ( )
( ),..., ( ),
k n n k
y z x y z x
и мы получаем уравнение
( )
, , ,..., 0
n k
F x z z z
порядка n k.
3. В уравнении
( )
, , ,..., 0,
n
F y y y y
не содержащем в явном виде
, -независимую переменную порядок понижается с помощью замены пере
менной y p(y), где p — , новая искомая функция зависящая от y. Тогда
,
dp dp dy
y p p
dx dy dx
d dp dp dp dy dp dy
y p p p p p p
dx dx dx dy dx dy dx
2
2
p p p p
. и так далее По индукции имеем
( ) ( 1)
1
, ,..., .
n n
n
y p p p
, .Подставляя в исходное уравнение понижаем его порядок на единицу
5.2. Уравнения высших порядков
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы