Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

157
5.93. Решить уравнение
2
1 2 .
y x xy
Уравнение не содержит y. Поэтому делаем замену y z(x). Тогда
y z(x). , Подставляя в исходное уравнение получае м
2
1 2
z x xz
и ,ли
, разд еляя переменные получаем
2
2
.
dz xdx
z
x
, Интегрируя имеем
2
1
ln ln 1 ln
z x C
, , , или что то же самое
2
1
1 .
z C x
Последнее
соотношение записывается в виде
2
1
1 ,
y C x
откуда
2
1
1 .
dy C x dx
, Интегрируя окончательно получаем
3
1 2
1
.
3
y C x x C
При разделении
, переменных мы могли потерять решение соответствующее случаю z(x) 0.
Тогда
0
y
, или y
C, но это решение входит в найденное при C
1
0.
5.94. Решить уравнение
2
2 2 .
y yy
Уравнение не содержит x. Поэтому делаем замену y p(y), тогда
y p p, , , и подставляя в уравнение получаем
2
2 2 .
dp
p y p
dy
Разделяя
, переменные при y 0 имеем
2
2
.
2
pdp dy
y
p
, Интегрируя получаем
2
1
ln 2 ln ln
p y C
, и , ,ли что то же самое p
2
2 C
1
y. Т огд а
2
1
2
y C y
, или
1
2 .
y C y
-После разделения переменных получа
ем
1
.
2
dy
dx
C y
, Интегрируя последнее равенство окончательно имеем
1
2
1
2 2
.
C y
x C
C
Функции y 0 и
1
2
y
C
,решениями не являются
.поэтому при разделении переменных мы решений не потеряли
5.95. Решить уравнени е
2
( 3) 4 .
y y y y
Если обе части уравнения разделить н а
3 4 0 ,
y y
т о получим
уравнение
,
4 3
y y
y y
которое можно переписать в виде
ln 4y
ln 3 .
y
, Из последнего соотношения следует что
ln 4 ln 3
y y
ln
C
, , ,или что то же самое y 4 C
1
(y 3). -Разделяя переменные и ин
, тегрируя получае м
1 1 2
ln 3 4 ln
C y C x C
, и , ,ли что то же самое
1
1 2
3 4 .
C x
C y C e К , роме того при делении на
3 4
y y
-мы потеря
ли решения y
3 и y
4x
C, .в найденном не содержащиеся
5.2. Уравнения высших порядков
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы