Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

156
4. , -Уравнение удается представить в виде когда в левой и правой час
тях стоят полные производные по x , некоторых функций зависящих от
( 1)
, , ,..., .
n
x y y y
Т .огда сами функции отличаются на константу
.Ниже приведены примеры на все рассмотренные случаи
5.89. Решить уравнение
3
1.
x
e y
. -Уравнение относится к первому из рассмотренных выше типов Мо
жем записать
3
,
x
y e
, следовательно
3
1
1
,
3
x
, и интегрируя еще
, раз окончательно получаем
3
1 2
1
.
9
x
y e C x C
5.90. Решить уравнение
cos 5 .
y x
, -Аналогично предыдущему уравнение относится к первому из рас
. , смотренных выше типов Интегрируя получаем
1
1
sin 5 2 ,
5
y x C
1 2
1
cos 5 2 ,
25
y x C x C
2
1 2 3
1
cos 5 .
125
y x C x C x C
5.91. Решить уравнение
sin 3 cos .
y x y x
. Уравнение относится ко второму случаю Делаем замену y z(x). Тогда
y z(x). , Подставляя в исходное уравнение имеем z(sinx 3) zcos x ,или
, разделяя переменные получаем
cos
.
sin 3
dz xdx
z x
-Интегрируя последнее урав
, нение имеем
1
ln ln(sin 3) ln
z x C
, , , или что то же самое z C
1
(sinx 3).
Последнее соотношение записывается в виде y C
1
(sin x 3), -откуда полу
чаем y
C
1
cos x
3C
1
x
C
2
. При делении на z -мы могли потерять реше
ние y 0, , ,или что то же самое y C, .которое входит в найденное
5.92. Решить уравнение
1 2.
x y y
. Уравнение относится ко второму случаю Делаем замену yz(x). Тогда
y z(x). , Подставляя в исходное уравнение получаем (x
1)z z 2.
, Разделяя переменные получаем
.
2 1
dz dx
z x
, Интегрируя имеем
1
ln 2 ln 1 ln
z x C
, , ,или что то же самое z C
1
(x 1) 2. -Послед
нее соотношение записывается в виде y C
1
(x 1) 2, откуда dy
1
( 1) 2 .
C x dx
И , нтегрируя окончательно получаем y 0,5C
1
(x 1)
2
2x C
2
. -При разделении переменных мы могли потерять решения соот
ветствующие случаям x
1 и z
2. Функция x
1 решением уравнения
. не является Если z
2, то
2
y
, или
2 .
y x C
Это решение входит
в найденное при C
1
0.
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы