Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

135
, , Это дает возможность восстановить потенциал если известно что поле
.потенциально
Вектор
rot ( , , )
R Q P R Q P
f x y z
x y z y z z x x y
P Q R
i j k
i j k
( ) -называется ротором вихрем вектор функции f(x,y,z).
Если поле
( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )
T
f x y z P x y z Q x y z R x y z
п -отенциально и су
ществует непрерывная производна я
, ,
[3,4], то rot f 0.
Если область rotявляется односвязной и f 0, .то поле потенциально
Для плоского поля
( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , )
P x y
f x y P x y Q x y
Q x y
i j
условие rot f 0
эквивалентно условию
Q P
x y
. :Поэтому верны следующие утверждения
1) , если плоское поле потенциально то
Q P
x y
;
2) если
Q P
x y
, и область односвязная то плоское поле f -потенци
;ально
3) , если область односвязная то любой криволинейный интеграл
L
Pdx Qdy
по произвольному контуру L -не зависит от пути интегриро
, вания тогда и только тогда когда
Q P
x y
;
4) , если область односвязная то поле плоское потенциально тогда и
, только тогда когда
Q P
x y
.
4.38. Для функции
2 3
x y z
u e
:найти
)а координаты вектора grad u в точке M
0
(1,4,2);
)б
u
a
в точке M
0
в направлении вектора
( 2, 2, 1)
T
a
.
, Вычисляя частные производные имеем
2 3
2
x y z
u
e
x
,
2 3
1
x y z
u
e
y
 
,
2 3
3
x y z
u
e
z
.
Поэтому
2 3 2 3 2 3
grad ( , , ) 2 , , 3 .
T
x y z x y z x y z
u x y z e e e
4. . Криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы