Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

160
Если y
1
, y
2
, ...,
y
n
— -фундаментальная система решений линейного од
, нородного дифференциального уравнения то
1 1 2 2
1
( ) ... —
n
n n k k
k
y x C y C y C y C y
.общее решение этого уравнения
Наиболее просто фундаментальная система решений находится для
.уравнений с постоянными коэффициентами
Алгебраическое уравнение
1
1 1 0
0
... 0
n
n n k
n n k
k
a r a r a r a a r
-называется характеристическим уравнением линейного однородного диф
.ференциального уравнения с постоянными коэффициентами
-Для корней характеристического уравнения возможны нижеследую
.щие случаи
1. -Все корни характеристического многочлена вещественны и различ
. ны Обозначим их r
1
, r
2
,
...,
r
n
. Тогда совокупность решений
1 2
1 2
, , ...,
n
r x
r x r x
n
y e y e y e
-является фундаментальной системой решений соответствующего диффе
.ренциального уравнения
2. Среди действительных корней характеристического уравнения есть
. кратные Если r
1
— корень кратности , то ему соответствует линейно
независимых решений
1 1 1 1
2 1
1 2 3
, , , ...,
r x r x r x r x
. уравнения Присоединяя эту систему решений к n , -решениям соответ
, ствующим остальным корням характеристического уравнения получим
-фундаментальную систему решений для линейного однородного диффе
-ренциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае нали
.чия действительных кратных корней
3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные
. , корни Для уравнений с действительными коэффициентами если
r
j
a bi — комплексный корень кратности -характеристического урав
, - нения то комплексно сопряженное ему число r
k
a bi также является
корнем кратности . этого уравнения Этим корням соответствует линейно
независимая система решений
1 2
cos , sin , 0,1,..., 1.
l l ax l l ax
y x e bx y x e bx l
Присоединяя эту систему решений к n2 , -решениям соответствую
, -щим остальным корням характеристического уравнения получим фунда
-ментальную систему решений для линейного однородного дифференци
ального уравнения с постоянными коэффициентами в случае наличия
.комплексных кратных корней
5.112. Для уравнения
2 3 0
y y y
к -орни характеристического урав
нени я
2
2 3 0
r r
равны r
1
1, r
2
3. , Следовательно фундаментальную
систему решений составляют функции y
1
e
–x
, y
2
e
3x
, а общее решение
записывается в виде y C
1
e
x
C
2
e
3x
.
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы