Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

165
система решений однородного уравнения состоит из функций
1
cos 4
y x
и
2
sin 4 .
y x
Р ешение неоднород ного уравнения и щем в виде
1 2
( ) cos 4 ( ) sin 4 .
y C x x C x x
Для нахождения производных
1 2
C C
с -остав
ляем систему уравнений
1 2
1 2
3
cos 4 sin 4 0,
4
4 sin 4 4 cos 4
cos 4
C x C x
C x C x
x
, ,или что то же самое
1 2
1 2
3
cos 4 sin 4 0,
1
sin 4 cos 4 .
cos 4
C x C x
C x C x
x
Умножая первое уравнение на cos 4x, — второе на sin 4x и вычитая
, из полученного первого полученное второе находим
1
3
sin 4
.
cos 4
x
C
x
,Далее
умножая первое уравнение на sin 4x, — второе на cos 4x -и складывая ре
, зультаты имеем
2
2
1
.
cos 4
C
x
Интегрируя функции
1
C
и
2
C
, получаем
1 1
2
1
,
8 cos 4
C C
x
%
2 2
1
tg 4 .
4
C x C
%
Подставляя C
1
и C
2
в выражение
для y, находим общее решение неоднородного уравнения
1
( )
8 cos 4
y x
x
2
1 2
sin 4
cos 4 sin 4 .
4 cos 4
x
C x C x
x
% %
Находим
2 3
1
2 2
sin 4 2 sin 4 cos 4 sin 4
( ) 4 sin 4
2 cos 4 cos 4
x x x x
y x C x
x x
%
2
4 cos 4 .
C x
%
Тогда начальные условия запишутся в виде
1
2
1
(0) 1,
8
(0) 4 1.
y C
y C
%
%
Из последнего получаем
1 2
9 1
, .
8 4
C C
% %
Подставляя эти значения в
, общее решение неоднородного уравнения находим решение задачи Коши
2
1 sin 4 9 1
( ) cos 4 sin 4 .
8 4
8 cos 4 4cos 4
x
y x x x
x x
5.2. Уравнения высших порядков
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы