Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

167
5.143. Для уравнения
7 15 9 9 3
y y y y x
-корнями характери
стического уравнени я
3 2
7 15 9 0
r r r
я вляются r 1 1кратности
и r 3 2. кратности Так как правая часть может быть записана в виде
0
(9 3) cos(0 ) sin(0 ) ,
x
x e x x
то 0, 0, , , и следовательно i 0
. не является корнем характеристического уравнения Поэтому k 0, -и част
ное решение ищем в виде y cx d. Так как
, 0, 0 ,
y c y y
, -то под
, ставляя в уравнение получаем 15c 9cx 9d 9x 3. -Приравнивая коэф
фициенты при одинаковых степенях x, получаем 9c 9, 15c 9d
3.
, Решая эту систему получаем c 1, d 2, и поэтому y x 2 — -част
, ное а
3 3
1 2 3
2
x x x
y x C e C e C xe
— .общее решения уравнения
5.144. Для уравнения
7 15 9 (9 3)
x
y y y y x e
-правая часть мо
жет быть записана в вид е
9 3 cos (0 ) sin (0 ) ,
x
x e x x
с ,ледовательно
1, 0, и число i 1 -является корнем характеристического уравне
1. ния кратности Поэтому частное решение ищем в виде y x(cx d)e
x
.
5.145. Для уравнения
9 12sin 3
y y x
-корнями характеристическо
го полинома r
2
9 являются числа r 3i кратности
1. Правая часть этого
уравнения может быть записана в вид е
0
12 sin 3 0 cos 3 12 sin 3 ,
x
x e x x
поэтому
0, 3 ,
, следовательно
3
i i
-является корнем крат
1 . ности характеристического полинома Поэтому k
1, -и частное реше
ние ищем в вид е
1 2
cos3 sin3 .
y x a x a x
Т огда
1 2
3 cos 3
y a a x x
2 1
3 sin 3 ,
a a x x
2 1 1 2
6 9 cos 3 6 9 sin 3 .
y a a x x a a x x
, Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные получаем
6a
2
cos 3x 6a
1
sin 3x 12sin 3x, откуда a
1
2, a
2
0. ,Следовательно
y 2xcos 3x
— , частное а y
2xcos 3x
C
1
cos 3x
C
2
sin 3x — -общее реше
.ния уравнения
5.146. Для уравнения
4 6 4 7
y y y y x
-корнями характерис
тического уравнения r
3
4r
2
r 6 0 являются числа 1,
2,
3. -Так как пра
вая часть может быть записана в вид е
0
(4 7) cos(0 ) sin(0 ) ,
x
x e x x
то
0, 0
,и следовательн , о
0
i
н -е является корнем характерис
. тического уравнения Числа
0
i
. среди этих корней нет Поэтому
k
0, и частное решение ищем в виде y cx d.
5.147. Для уравнени я
9 cos 4
y y x
к орнями характеристического
полином а
2
9
r
являются числа
3
r i
к 1. ратности Правая часть этого
уравнения может быть записана в вид е
0
cos 4 (cos 4 0 sin 4 ),
x
x e x x
поэтом у
0, 4,
, следовательно
4
i i
н -е является корнем харак
. теристического полинома Поэтому k
0, и частное решение ищем в виде
1 2
cos 4 sin 4 .
y a x a x
5.148. Для уравнени я
2 5
4 6 cos 3
x x x
y y y y x e e x xe
записать
.частное решение с неопределенными коэффициентами
5.2. Уравнения высших порядков
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы