Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

169
которую также можно записать в векторной форме y f(x,y), где
1 2
, ,..., ,
T
n
y y y y
1 2
, ,..., ,
T
n
y y y y
1 2
( , ) ( , ), ( , ),..., ( , ) ,
T
n
f x y f x y f x y f x y
п о виду совпадающей с записью дифференциального уравнения первого
.порядка
Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно
: поставить задачу Коши найти решение
1 2
, ,...,
T
n
y y y
с , -истемы удовлет
воряющее начальным условиям
0 0 0
1 0 2 0 0 1 2
, ,..., , ,..., .
T
T
n n
y x y x y x y y y
, -Так же как и для дифференциальных уравнений для систем диффе
-ренциальных уравнений справедлива теорема существования и единствен
.ности
.Теорема (5.12) Пусть в системе уравнений все функции
1 2
, , ,..., , 1,
i n
f x y y y i n
, н епрерывны по совокупности переменных
1 2
, , ,...,
n
x y y y
в области D -и имеют непрерывные частные произ
водные по переменны м
1 2
, ,...,
n
y y y
. Т -огда найдется окрестность точ
ки x
0
, (5.12), -в которой решение системы уравнений удовлетворяю
щее начальным данным
0 0 0
1 0 2 0 0 1 2
, ,..., , ,..., ,
T
T
n n
y x y x y x y y y
.существует и единственно
В общем случае для решения систем имеются методы интегрируемых
.комбинаций и исключения неизвестных
.Разберем на примерах метод исключения неизвестных
5.161. Решить систему дифференциальных уравнений
2 7 cos sin ,
sin .
x y y x t t
x x y t
Выражая y , из второго уравнения имее м
sin .
y x x t
Д -ифферен
, цируя получае м
cos .
y x x t
Подставляя y и
y
в -первое уравне
, ние и приводя подобные получаем уравнени е
4 5 3sin .
x x x t
Это
.линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Корни характеристического полином а
2
4 5
r r
с -оответствующего одно
родного уравнения равн ы
1 2
5, 1.
r r
Поэтому
5
1 2
t t
x C e C e
есть
. -общее решение соответствующего однородного уравнения Находя част
, ное решение неоднородного уравнения по виду правой части имеем
чн
3 9
cos sin .
13 26
x t t
, Таким образом общее решени е урав нени я
4 5 3sin
x x x t
равно
5
1 2
3 9
cos sin .
13 26
t t
x C e C e t t
Подставляя
5.3. Системы дифференциальных уравнений
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы