Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

171
5.3.2. . Системы линейных уравнений Однородные системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
. 5.3.2 5.3.3 [5].Рекомендуется прочитать пп и из
-Если в системе обыкновенных дифференциальных уравнений в нор
, , -мальной форме все функции стоящие в правых частях линейны по пере
менным y
1
,
y
2
,
...,
y
n
, . то она называется линейной В этом случае ее можно
переписать в виде
1 1 1
1 1 1 2 2 1
2 2 2
2 1 1 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( ) ( ),
( ) ( ) ... ( ) ( ),
...............................
( ) ( ) ... ( ) ( )
n n
n n
n n n
n n n n
y a x y a x y a x y b x
y a x y a x y a x y b x
y a x y a x y a x y b x
или в матричной форме
( ) ( ),
y A x y b x
где A(x) — матрица системы;
1 2
T
n
b x b x b x b x
1 2
, ,..., ;
T
n
y y y y
1 2
, ,..., .
T
n
y y y y
Если b(x) 0, то получаем соответствующую систему
однородных уравнени й
( ) .
y A x y
, -Для систем линейных уравнений строится теория полностью эквива
лентная теории линейных уравнений порядка n. , -В частности справедли
вы играющая большую роль в теории и практике теорема о наложении
решений и получаемые с ее помощью теоремы о виде общего решения
.однородной и неоднородной систем
( ).Теорема о наложении решений Если y
1
,
y
2
— решения систем
линейных уравнени й
1
( ) ( )
y A x y b x
и
2
( ) ( )
y A x y b x
с -оответствен
, но то линейная комбинаци я
1 1 2 2
y y
е -сть решение системы линей
ных уравнени й
1 1 2 2
( ) .
y A x y b b
Понятия линейной зависимости и линейной независимости систем
- , [1,вектор функций вводятся так же как для векторов 2] -и систем скаляр
[5]. . -ных функций Свойства те же Размерность пространства решений од
нородной системы линейных дифференциальных уравнений порядка n
равна n. ( -Любой базис пространства решений этой системы линейно неза
висимая совокупность из n ) -решений называется фундаментальной систе
.мой решений
( -Теорема о виде общего решения однородной системы линей
).ных дифференциальных уравнений Если y
1
,
y
2
,
...,
y
n
— линейно
-независимая совокупность решений однородной системы уравне
ний
( )
y A x y
с непрерывными на
[ , ]
э лементами матрицы A(x)
и
( ) 0
A x
для всех
[ , ],
x
 
т о любое решение этой системы есть
линейная комбинация решений y
1
,
y
2
,
...,
y
n
, то есть
1
( ) ( )
n
j
j
j
y x C y x
,
5.3. Системы дифференциальных уравнений
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы