Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

173
. Во втором случае возможны два варианта В первом для собственного
числ а
j
r
кратности k имеется k -линейно независимых собственных век
торо в
1 2
, , ..., .
k
j
j j
Э тот вариант ничем не отличается от предыдущего
. случая Во втором варианте для собственного числ а
j
r
кратности k имеется
меньше чем k . линейно независимых собственных векторов Мы будем
, , пользоваться методом Эйлера который заключается в том что для
собственного числ а
j
r
с оответствующие решения находятся в виде
1
( ) ,
j
r t
k
y P t e
где P
k–1
(t) — - , вектор функция каждая координата которой
есть полином степени не выше k1 ,с неопределенными коэффициентами
. -подлежащими определению Подставляя это решение в исходную однород
, -ную систему получаем соотношения для определения коэффициентов век
-тор функции P
k–1
(t).
5.163. Для линейной системы дифференциальных уравнений
6 2
x x y
y x y
,
, , или что то же самое в матричной форме
1 1
,
6 2
x x
y y
матрица системы равна
1 1
.
6 2
Составляем уравнение
det( )
A rE
1 1
0
6 2
r
r
. -для нахождения собственных чисел Раскрывая опреде
, литель получаем уравнени е
2
3 4 0,
r r
р ешениями которого являются
числа r
1
1 и r
2
4. -Составляем однородную систему линейных уравне
, -ний для нахождения собственных векторов соответствующих собственно
му числу r
1
1:
1 1 1
1 2 2
1 1
2 1 0
6 2
6 3 0
r
r
, , или что то же
, самое в координатной форме
1 2
1 2
2 0,
6 3 0.
-Второе уравнение пропорци
, . , онально первому поэтому его можем вычеркнуть Следовательно общее
решение этой системы ест ь
2 1
2 .
Полагая
1
1,
п -олучаем фундамен
,тальную систему решений рассматриваемой системы линейных уравнений
, а следовательно и собственный векто р
1
(1,2)
T
м -атрицы системы диф
, ференциальных уравнений соответствующий собственному числу r
1
1.
Аналогично для собственного числа r
2
4, решая систему уравнений
2 1 1
2 2 2
1 1
3 1 0
,
6 2
6 2 0
r
r
получаем собственный вектор
2
( 1,3) .
T
 
П оэтому фундаментальная система решений данной системы
дифференциальных уравнений состоит из функций
1
1
,
2
2
t
t t
t
e
e e
e
4
4 4
2
4
1
,
3
3
t
t t
t
e
e e
e
а
общее
решение
имеет
вид
4
1 2
4
.
2 3
t t
t t
x e e
C C
y
e e
5.3. Системы дифференциальных уравнений
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы