Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

172
, , и следовательно y
1
,
y
2
,
...,
y
n
— базис пространства решений системы
уравнений
( ) .
y A x y
( -Теорема о виде общего решения линейной неоднородной сис
).темы дифференциальных уравнений Общее решение y
он
линейной
неоднородной системы дифференциальных уравнени й
( ) ( )
y A x y b x
с непрерывными н а
[ , ]
э лементами матрицы A(x) и компонентами
вектора b(x),
( ) 0
A x
для всех
[ , ],
x
 
е сть сумма общего решения
y
оо
соответствующей однородной системы уравнени й
( )
y A x y
и -ка
- кого либо частного решения y
чн
,неоднородной системы уравнений
то ест ь
он оо чн
( ) ( ) ( ).
y x y x y x
Наиболее просто фундаментальная система решений находится для
-однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэф
.фициентами
.Отметим следующий результат
Теорема. -Вектор функция
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
T
T
rt rt rt rt rt
n n
y e e e e e
-является решением однородной системы дифференциальных урав
нений с постоянными коэффициентами y A(x)y, если r — -собст
, венное число а — -ему соответствующий собственный вектор матри
цы A.
-Собственные векторы и собственные числа изучаются в линейной ал
. , гебре Напомним что ненулевой вектор x -называется собственным векто
ром матрицы A, если имеет место соотношение Ax
rx для некоторого
числа r. Число r при этом называют собственным числом матрицы A, -со
ответствующим собственному вектору x. Переписав соотношение Ax
rx
в вид е
( ) 0,
A rE x
п олучаем в матричной форме однородную систему
линейных уравнений для нахождения собственных векторов матрицы
A, , которая имеет нетривиальные решения тогда и только тогда когда
определител ь
det( )
A rE
р . , авен нулю Таким образом получаем алгоритм
для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A:
1) из уравнени я
det( ) 0
A rE
н аходим собственные числа r
1
,
r
2
,
...,
r
m
(m
n) матрицы A;
2) находя фундаментальные системы решений однородных систем
линейных уравнени й
0, 1,2,..., ,
j
A r E x j m
п олучаем собственные
, векторы отвечающие собственным числа м
, 1,2,..., .
j
r j m
-Более подробно о нахождении собственных чисел и собственных век
, , [1, 2].торов можно прочитать например в
: 1) ; 2) Возможны два случая все собственные числа различны есть
. .кратные собственные числа Разберем эти возможности по отдельности
В первом случае имеем линейно независимую систему из n решений
1 2
1 1 2 2
, , ..., .
n
r t
r t r t n n
y e y e y e
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы