Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

174
5.164. Для линейной системы дифференциальных уравнений
4 ,
2 ,
2 ,
x x y z
y x y z
z x y z
, , или что то же самое в матричной форме
4 1 1
1 2 1 ,
1 1 2
z z
матрица системы равна
4 1 1
1 2 1 .
1 1 2
Составляем
уравнение
4 1 1
det( ) 1 2 1 0
1 1 2
r
A rE r
r
для нахождения собственных
. , чисел Раскрывая определитель получаем уравнени е
2
(2 )(3 ) 0,
r r
р -е
шениями которого являются числа r
1
2 и r
2,3
3 2. -кратности Составля
-ем однородную систему линейных уравнений для нахождения собствен
, ных векторов соответствующих собственному числу r
1
2:
1 1 1
1 2 2
1 3 3
4 1 1 2 1 1 0
1 2 1 1 0 1 0 ,
1 1 2 1 1 0 0
r
r
r
, , или что то же самое в координатной форме
1 2 3
1 3
1 2
2 0,
0,
0.
, Первое уравнение есть сумма второго и третьего уравнений поэтому
. , его можно вычеркнуть Решая оставшуюся систему получаем общее
решени е
2 1 3 1
, .
Полагая
1
1,
по лучаем собственный вектор
1
(1,1,1) ,
T
от вечающий собственному числу r
1
2. Составляем теперь
однородную систему линейных уравнений для нахождения собственных
, векторов соответствующих собственному числу r
2,3
3:
2,3 1 1
2,3 2 2
2,3 3 3
4 1 1 1 1 1 0
1 2 1 1 1 1 0 ,
1 1 2 1 1 1 0
r
r
r
, , или что то же самое в координатной форме
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0,
0,
0.
, . -Все три уравнения одинаковы поэтому два из них вычеркиваем Об
щее решение полученной системы ест ь
1 2 3
.
П ридавая свободным
неизвестны м
2 3
,
значения
2 3
1, 0
и
2 3
0, 1,
п олучаем два
линейно независимых собственных вектор а
2
(1,1,0)
T
и
3
(1,0,1)
T
,
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы